ترجمه فارسی مقاله جریانهای گرادیان Wasserstein توابع MMD با مسایل هسته فاصله و کوشی در توابع کوانتیل

چکیده

We give a comprehensive description of Wasserstein gradient flows of maximum mean discrepancy (MMD) functionals $\mathcal F_ν:= \text{MMD}_K^2(\cdot, ν)$ towards given target measures $ν$ on the real line, where we focus on the negative distance kernel $K(x,y) := -|x-y|$. In one dimension, the Wasserstein-2 space can be isometrically embedded into the cone $\mathcal C(0,1) \subset L_2(0,1)$ of quantile functions leading to a characterization of Wasserstein gradient flows via the solution of an associated Cauchy problem on $L_2(0,1)$. Based on the construction of an appropriate counterpart of $\mathcal F_ν$ on $L_2(0,1)$ and its subdifferential, we provide a solution of the Cauchy problem. For discrete target measures $ν$, this results in a piecewise linear solution formula. We prove invariance and smoothing properties of the flow on subsets of $\mathcal C(0,1)$. For certain $\mathcal F_ν$-flows this implies that initial point measures instantly become absolutely continuous, and stay so over time. Finally, we illustrate the behavior of the flow by various numerical examples using an implicit Euler scheme and demonstrate differences to the explicit Euler scheme, which is easier to compute, but comes with limited convergence guarantees.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما توضیحات کاملی از جریان شیب Wasserstein با حداکثر میانگین اختلاف (MMD) عملکردهای $ \ Mathcal f_ν: = \ text {mmd} _k^2 (\ cdot ، ν) $ به سمت اقدامات هدف داده شده $ ν $ در خط واقعی ارائه می دهیم.جایی که ما روی هسته فاصله منفی $ k (x ، y) تمرکز می کنیم: = -| x -y | $.در یک بعد ، فضای Wasserstein-2 می تواند به صورت ایزومتریک در مخروط $ \ Mathcal C (0،1) \ زیر مجموعه L_2 (0،1) از توابع کوانتیل که منجر به توصیف جریان شیب Wasserstein از طریق محلول یک محلول یک محلول است ، تعبیه کنید.مشکل cauchy مرتبط با $ l_2 (0،1) $.براساس ساخت یک همتای مناسب از $ \ Mathcal f_ν $ در $ l_2 (0،1) $ و تقسیم آن ، ما یک راه حل برای مشکل cauchy ارائه می دهیم.برای اقدامات هدف گسسته $ ν $ ، این منجر به فرمول راه حل خطی پراکنده می شود.ما ویژگی های ثابت و صاف کننده جریان را در زیر مجموعه های $ \ Mathcal C (0،1) $ ثابت می کنیم.برای برخی از $ \ Mathcal f_ν $-جریان این نشان می دهد که اقدامات اولیه نقطه فوراً کاملاً مداوم می شوند و با گذشت زمان چنین می مانند.سرانجام ، ما رفتار جریان را با استفاده از نمونه های مختلف عددی با استفاده از یک طرح اویلر ضمنی نشان می دهیم و تفاوت هایی را با طرح صریح اویلر نشان می دهیم ، که محاسبه آن آسان تر است ، اما با ضمانت های همگرایی محدود همراه است.