ترجمه فارسی مقاله الگوهای کلاس باقیمانده اعداد اول متوالی

چکیده

For $m,q \in \mathbb{N}$, we call an $m$-tuple $(a_1,\ldots,a_m) \in \prod_{i=1}^m (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ good if there are infinitely many consecutive primes $p_1,\ldots,p_m$ satisfying $p_i \equiv a_i \pmod{q}$ for all $i$. We show that given any $m$ sufficiently large, $q$ squarefree, and $A \subseteq (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ with $|A|=\lfloor 71(\log m)^3 \rfloor$, we can form at least one non-constant good $m$-tuple $(a_1,\ldots,a_m) \in \prod_{i=1}^m A$. Using this, we can provide a lower bound for the number of residue class patterns attainable by consecutive primes, and for $m$ large and $\varphi(q) \gg (\log m)^{10}$ this improves on the lower bound obtained from direct applications of Shiu (2000) and Dirichlet (1837). The main method is modifying the Maynard-Tao sieve found in Banks, Freiberg, and Maynard (2015), where instead of considering the 2nd moment we considered the $r$-th moment, where $r$ is an integer depending on $m$.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

برای $ m ، q \ in \ mathbb {n} $ ، ما با یک $ m $ -tuple $ (a_1 ، \ ldots ، a_m) \ in \ prod_ {i = 1}^m (\ mathbb {z}/q تماس می گیریم.\ Mathbb {z})^\ times $ خوب اگر بی نهایت بسیاری از مجازات های متوالی $ p_1 ، \ ldots ، p_m $ رضایت بخش $ p_i \ equiv a_i \ pmod {q} $ برای همه $ i $.ما نشان می دهیم که با توجه به هر $ m $ به اندازه کافی بزرگ ، $ q $ squarefree ، و $ a \ subeeteq (\ mathbb {z}/q \ mathbb {z})^\ times $ با $ | = \ lfloor 71 (\log m)^3 \ rfloor $ ، ما می توانیم حداقل یک ماده خوب $ m $ -tuple $ (a_1 ، \ ldots ، a_m) \ in \ prod_ {i = 1}^m a $ را تشکیل دهیم.با استفاده از این ، ما می توانیم تعداد الگوهای کلاس باقیمانده را که توسط مقدمات متوالی قابل دستیابی است ، فراهم کنیم ، و برای $ m $ بزرگ و $ \ \ varphi (q) \ gg (\ log m)^{10} $ این بهبود می یابدمرز پایین به دست آمده از برنامه های مستقیم Shiu (2000) و Dirichlet (1837).روش اصلی اصلاح غربال مینارد-تائو موجود در بانکها ، فریبرگ و مینارد (2015) است ، جایی که به جای در نظر گرفتن لحظه 2 ما ، لحظه $ R $ را در نظر گرفتیم ، جایی که R $ $ بسته به $ متر است.$