ترجمه فارسی مقاله راه حل های پیچیده معادلات چند جمله ای در دایره واحد

چکیده

We explore systems of polynomial equations where we seek complex solutions with absolute value 1. Geometrically, this amounts to understanding intersections of algebraic varieties with tori — Cartesian powers of the unit circle. We study the properties of varieties in which this intersection is Zariski dense, give a criterion for Zariski density and use it to show that the problem is decidable. This problem is a “continuous” analogue of the Manin-Mumford conjecture for the multiplicative group of complex numbers, however, the results are very different from Manin-Mumford. While the results of the paper appear to be new, the proofs are quite elementary. This is an expository article aiming to introduce some classical mathematical topics to a general audience. We also list some exercises and problems at the end for the curious reader to further explore these topics.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما سیستم های معادلات چند جمله ای را کشف می کنیم که در آن به دنبال راه حل های پیچیده با ارزش مطلق هستیم. از نظر هندسی ، این به درک تقاطع های انواع جبری با TORI – قدرت های دکارتی واحد واحد است.ما خواص انواع مختلفی را که در آن این تقاطع Zariski متراکم است ، مطالعه می کنیم ، معیار چگالی زاریسکی را ارائه می دهیم و از آن استفاده می کنیم تا نشان دهد مشکل قابل حل است.این مشکل یک آنالوگ “مداوم” از حدس مانین-مومفورد برای گروه ضرب از اعداد پیچیده است ، با این حال ، نتایج بسیار متفاوت از مانین-مومفورد است.در حالی که به نظر می رسد نتایج مقاله جدید است ، اثبات کاملاً ابتدایی است.این یک مقاله نمایشی با هدف معرفی برخی مباحث ریاضی کلاسیک به مخاطبان عام است.ما همچنین در پایان برخی از تمرینات و مشکلات را برای خواننده کنجکاو برای کشف بیشتر این مباحث ذکر می کنیم.