ترجمه فارسی مقاله در نمودارهای (r,c)-ثابت ، مسطح و گردش

چکیده

This paper concerns $(r,c)$-constant graphs, which are $r$-regular graphs in which the subgraph induced by the open neighbourhood of every vertex has precisely $c$ edges. The family of $(r,c)$-graphs contains vertex-transitive graphs (and in particular Cayley graphs), graphs with constant link (sometimes called locally isomorphic graphs), $(r,b)$-regular graphs, strongly regular graphs, and much more. This family was recently introduced in [arXiv:2312.08777] serving as important tool in constructing flip graphs [arXiv:2312.08777, arXiv:2401.02315]. In this paper we shall mainly deal with the following: i. Existence and non-existence of $(r, c)$-planar graphs. We completely determine the cases of existence and non-existence of such graphs and supply the smallest order in the case when they exist. ii. We consider the existence of $(r, c)$-circulant graphs. We prove that for $c \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 3)$ no $(r,c)$-circulant graph exists and that for $c \equiv 0, 1 \ (\mathrm{mod} \ 3)$, $c > 0$ and $r \geq 6 + \sqrt{\frac{8c – 5}{3}}$ there exists $(r,c)$-circulant graphs. Moreover for $c = 0$ and $r \geq 1$, $(r, 0)$-circulants exist. iii. We consider the existence and non-existence of small $(r,c)$-constant graphs, supplying a complete table of the smallest order of graphs we found for $0 \leq c \leq \binom{r}{2}$ and $r \leq 6$. We shall also determine all the cases in this range for which $(r,c)$-constant graphs don’t exist. We establish a public database of $(r,c)$-constant graphs for varying $r$, $c$ and order.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

این مقاله مربوط به نمودارهای ثابت $ (r ، c) $ است ، که نمودارهای $ $ $ هستند که در آن زیرگراف ناشی از محله باز هر راس دقیقاً دارای لبه های $ c است.نمودارهای خانواده $ (R ، C) $-شامل نمودارهای مهم ورتکس (و به ویژه نمودارهای Cayley) ، نمودارهایی با پیوند ثابت (که گاهی اوقات نمودارهای ایزومورفیک محلی نامیده می شوند) ، $ (R ، B) $-نمودارهای منظم ، به طور منظم منظمنمودارها ، و خیلی بیشتر.این خانواده به تازگی در [ARXIV: 2312.08777] به عنوان ابزار مهمی در ساخت نمودارهای تلنگر معرفی شده است [ARXIV: 2312.08777 ، ARXIV: 2401.02315].در این مقاله ما عمدتاً با موارد زیر سر و کار خواهیم داشت: i.وجود و عدم وجود $ (r ، c) $-نمودارهای مسطح.ما موارد وجود و عدم وجود چنین نمودارها را کاملاً تعیین می کنیم و در صورت وجود آنها کوچکترین ترتیب را تأمین می کنیم.ii.ما وجود نمودارهای $ (r ، c) $-را در نظر می گیریم.ما ثابت می کنیم که برای $ C \ Equiv 2 \ (\ Mathrm {mod} \ 3) $ no $ (r ، c) $-نمودار گردش وجود دارد و برای $ c \ Equiv 0 ، 1 \ (\ mathrm {mod} \ \3) $ ، $ c> 0 $ و $ r \ geq 6 + \ sqrt {\ frac {8c – 5} {3}} $ وجود دارد (r ، c) $ – نمودارهای گردش.علاوه بر این برای $ c = 0 $ و $ r \ geq 1 $ ، $ (r ، 0) $-گردش مالی وجود دارد.iiiما وجود و عدم وجود نمودارهای کوچک $ (r ، c) $-را در نظر می گیریم ، و یک جدول کامل از کوچکترین ترتیب نمودارهایی را که برای 0 $ \ leq c \ leq \ binom {r} {2} $ و پیدا کردیم ، تهیه می کنیم.$ r \ leq 6 $.ما همچنین باید تمام موارد موجود در این محدوده را تعیین کنیم که نمودارهای ثابت $ (r ، c) $ وجود ندارد.ما یک پایگاه داده عمومی از $ (r ، c) $-نمودارهای ثابت برای تغییر $ r $ ، $ c $ و سفارش ایجاد می کنیم.