ترجمه فارسی مقاله بهره‌برداری از ساختارهای هنکل-توپلیتز برای محاسبه سریع ماتریس‌های دقت هسته

چکیده

The Hilbert-space Gaussian Process (HGP) approach offers a hyperparameter-independent basis function approximation for speeding up Gaussian Process (GP) inference by projecting the GP onto M basis functions. These properties result in a favorable data-independent $mathcal{O}(M^3)$ computational complexity during hyperparameter optimization but require a dominating one-time precomputation of the precision matrix costing $mathcal{O}(NM^2)$ operations. In this paper, we lower this dominating computational complexity to $mathcal{O}(NM)$ with no additional approximations. We can do this because we realize that the precision matrix can be split into a sum of Hankel-Toeplitz matrices, each having $mathcal{O}(M)$ unique entries. Based on this realization we propose computing only these unique entries at $mathcal{O}(NM)$ costs. Further, we develop two theorems that prescribe sufficient conditions for the complexity reduction to hold generally for a wide range of other approximate GP models, such as the Variational Fourier Feature (VFF) approach. The two theorems do this with no assumptions on the data and no additional approximations of the GP models themselves. Thus, our contribution provides a pure speed-up of several existing, widely used, GP approximations, without further approximations.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

رویکرد فرآیند گاوسی هیلبرت-اسپای (HGP) یک عملکرد پایه مستقل از هیپرپارامتر را برای سرعت بخشیدن به استنتاج فرآیند گاوسی (GP) با پیش بینی GP بر روی عملکردهای پایه ارائه می دهد.این خصوصیات منجر به یک داده مطلوب و مستقل از داده mathcal {o} (m^3) $ پیچیدگی محاسباتی در هنگام بهینه سازی هایپرپارامتر می شود اما نیاز به یک پیش فرض یک بار غالب ماتریس دقیق دارد که دارای هزینه $ mathcal {o} (nm^2) استعملیات $در این مقاله ، ما این پیچیدگی محاسباتی غالب را به $ Mathcal {O} (NM) $ بدون تقریب اضافی کاهش می دهیم.ما می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا می دانیم که ماتریس دقیق را می توان به مجموعه ای از ماتریس های Hankel-Toeplitz تقسیم کرد که هر کدام دارای $ Mathcal {O} (M) $ ورودی های منحصر به فرد هستند.بر اساس این تحقق ، ما فقط محاسبات این ورودی های منحصر به فرد را با هزینه Mathcal {o} (nm) $ پیشنهاد می کنیم.علاوه بر این ، ما دو قضیه ایجاد می کنیم که شرایط کافی را برای کاهش پیچیدگی تجویز می کنند تا به طور کلی برای طیف گسترده ای از سایر مدلهای GP تقریبی ، مانند رویکرد ویژگی فوریه (VFF) متغیر باشد.این دو قضیه این کار را بدون هیچ گونه فرضیه ای در مورد داده ها انجام می دهند و هیچ تقریب اضافی از خود مدل های GP وجود ندارد.بنابراین ، سهم ما سرعت خالص از چندین تقریب GP موجود ، به طور گسترده ، بدون تقریب بیشتر را فراهم می کند.