ترجمه فارسی مقاله برکت ابعاد برای تقریب کلاس های سوبولف در منیفولدها

چکیده

The manifold hypothesis says that natural high-dimensional data is actually supported on or around a low-dimensional manifold. Recent success of statistical and learning-based methods empirically supports this hypothesis, due to outperforming classical statistical intuition in very high dimensions. A natural step for analysis is thus to assume the manifold hypothesis and derive bounds that are independent of any embedding space. Theoretical implications in this direction have recently been explored in terms of generalization of ReLU networks and convergence of Langevin methods. We complement existing results by providing theoretical statistical complexity results, which directly relates to generalization properties. In particular, we demonstrate that the statistical complexity required to approximate a class of bounded Sobolev functions on a compact manifold is bounded from below, and moreover that this bound is dependent only on the intrinsic properties of the manifold. These provide complementary bounds for existing approximation results for ReLU networks on manifolds, which give upper bounds on generalization capacity.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

فرضیه منیفولد می گوید که داده های طبیعی با ابعاد طبیعی در واقع در یک منیفولد کم بعدی یا اطراف پشتیبانی می شوند.موفقیت اخیر روشهای آماری و مبتنی بر یادگیری به طور تجربی از این فرضیه پشتیبانی می کند ، به دلیل بهتر از شهود آماری کلاسیک در ابعاد بسیار بالا.بنابراین یک گام طبیعی برای تجزیه و تحلیل فرضیه منیفولد و مرزهای مشتق شده از هر فضای تعبیه شده است.پیامدهای نظری در این جهت اخیراً از نظر تعمیم شبکه های RELU و همگرایی روشهای لانژوین مورد بررسی قرار گرفته است.ما با ارائه نتایج پیچیدگی آماری نظری ، که مستقیماً به خصوصیات تعمیم مربوط می شود ، نتایج موجود را تکمیل می کنیم.به طور خاص ، ما نشان می دهیم که پیچیدگی آماری مورد نیاز برای تقریبی یک کلاس از توابع Sobolev محدود بر روی یک منیفولد جمع و جور از پایین محدود می شود ، و علاوه بر این که این مرز فقط به خصوصیات ذاتی منیفولد وابسته است.اینها مرزهای مکمل برای نتایج تقریب موجود برای شبکه های RELU در منیفولدها را فراهم می کند ، که محدودیت های بالایی در ظرفیت تعمیم دارند.