مقاله جبرهای خوشه ای جدید از قدیم: یکپارچگی فراتر از دوره تناوب Zamolodchikov

چکیده

We consider discrete dynamical systems obtained as deformations of mutations in cluster algebras associated with finite-dimensional simple Lie algebras. The original (undeformed) dynamical systems provide the simplest examples of Zamolodchikov periodicity: they are affine birational maps for which every orbit is periodic with the same period. Following on from preliminary work by one of us with Kouloukas, here we present integrable maps obtained from deformations of cluster mutations related to the following simple root systems: $A_3$, $B_2$, $B_3$ and $D_4$. We further show how new cluster algebras arise, by considering Laurentification, that is, a lifting to a higher-dimensional map expressed in a set of new variables (tau functions), for which the dynamics exhibits the Laurent property. For the integrable map obtained by deformation of type $A_3$, which already appeared in our previous work, we show that there is a commuting map of Quispel-Roberts-Thompson (QRT) type which is built from a composition of mutations and a permutation applied to the same cluster algebra of rank 6, with an additional 2 frozen variables. Furthermore, both the deformed $A_3$ map and the QRT map correspond to addition of a point in the Mordell-Weil group of a rational elliptic surface of rank two, and the underlying cluster algebra comes from a quiver that mutation equivalent to the $q$-Painlevé III quiver found by Okubo. The deformed integrable maps of types $B_2$, $B_3$ and $D_4$ are also related to elliptic surfaces.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما سیستم های دینامیکی گسسته به دست آمده به عنوان تغییر شکل جهش در جبر خوشه ای مرتبط با جبر دروغ ساده بعدی را در نظر می گیریم.سیستم های دینامیکی اصلی (نامشخص) ساده ترین نمونه های تناوبی Zamolodchikov را ارائه می دهند: آنها نقشه های مغزی هستند که هر مدار با همان دوره دوره ای است.در ادامه کار اولیه یکی از ما با کلوکاس ، در اینجا ما نقشه های یکپارچه ای را که از تغییر شکل جهش های خوشه ای مربوط به سیستم های ریشه ساده زیر به دست آمده است ارائه می دهیم: $ a_3 $ ، $ b_2 $ ، $ b_3 $ و $ d_4.ما در ادامه نشان می دهیم که چگونه جبر خوشه جدید با در نظر گرفتن لورنتیکاسیون ، یعنی بلند کردن به یک نقشه با ابعاد بالاتر بیان شده در مجموعه متغیرهای جدید (توابع تاو) ، که دینامیک از ویژگی های لوران برخوردار است ، ایجاد می شود.برای نقشه یکپارچه به دست آمده با تغییر شکل نوع $ a_3 $ ، که قبلاً در کار قبلی ما ظاهر شده است ، ما نشان می دهیم که یک نقشه رفت و آمد از نوع quispel-roberts-thompson (qrt) وجود دارد که از ترکیب جهش ها و جابجایی ساخته شده استاعمال شده برای همان جبر خوشه ای از رتبه 6 ، با 2 متغیر یخ زده اضافی.علاوه بر این ، هر دو نقشه تغییر شکل $ A_3 $ و نقشه QRT با افزودن یک نقطه در گروه مردل-Weil از یک سطح بیضوی عقلانی از رتبه دو مطابقت دارند ، و جبر خوشه ای زیرین از یک لرزه ناشی می شود که جهش معادل $ q است$ -Painlevé III لرز که توسط Okubo یافت شد.نقشه های یکپارچه تغییر شکل انواع $ B_2 $ ، $ B_3 $ و $ D_4 $ نیز مربوط به سطوح بیضوی است.