ترجمه فارسی مقاله UGrid: یک حل‌کننده چندشبکه‌ای عصبی کارآمد و دقیق برای معادلات دیفرانسیل جزئی خطی

چکیده

Numerical solvers of Partial Differential Equations (PDEs) are of fundamental significance to science and engineering. To date, the historical reliance on legacy techniques has circumscribed possible integration of big data knowledge and exhibits sub-optimal efficiency for certain PDE formulations, while data-driven neural methods typically lack mathematical guarantee of convergence and correctness. This paper articulates a mathematically rigorous neural solver for linear PDEs. The proposed UGrid solver, built upon the principled integration of U-Net and MultiGrid, manifests a mathematically rigorous proof of both convergence and correctness, and showcases high numerical accuracy, as well as strong generalization power to various input geometry/values and multiple PDE formulations. In addition, we devise a new residual loss metric, which enables unsupervised training and affords more stability and a larger solution space over the legacy losses.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

حلال های عددی معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) از اهمیت اساسی در علم و مهندسی برخوردار هستند.تا به امروز ، اعتماد تاریخی به تکنیک های میراث ، ادغام احتمالی دانش داده های بزرگ را نشان داده و بازده زیر بهینه را برای برخی از فرمولاسیون PDE نشان می دهد ، در حالی که روش های عصبی مبتنی بر داده به طور معمول فاقد ضمانت ریاضی همگرایی و صحت است.در این مقاله یک حل کننده عصبی ریاضی سختگیرانه برای PDE های خطی بیان شده است.حل کننده پیشنهادی Ugrid ، که بر اساس ادغام اصولی U-NET و Multigrid ساخته شده است ، اثبات دقیق ریاضی همگرایی و هم صحت را نشان می دهد ، و دقت عددی بالایی را به نمایش می گذارد ، و همچنین قدرت عمومی سازی قوی به هندسه/مقادیر مختلف ورودی و چندین فرمول PDE را نشان می دهد.بشرعلاوه بر این ، ما یک معیار جدید ضرر باقیمانده را ابداع می کنیم ، که آموزش بدون نظارت را امکان پذیر می کند و ثبات بیشتری و فضای راه حل بزرگتر را به دلیل تلفات میراث فراهم می کند.