ترجمه فارسی مقاله یک مشکل توران دوبخشی هایپرگراف با یکنواختی عجیب و غریب

چکیده

In this paper, we investigate the hypergraph Turán number $ex(n,K^{(r)}_{s,t})$. Here, $K^{(r)}_{s,t}$ denotes the $r$-uniform hypergraph with vertex set $\left(\cup_{i\in [t]}X_i\right)\cup Y$ and edge set $\{X_i\cup \{y\}: i\in [t], y\in Y\}$, where $X_1,X_2,\cdots,X_t$ are $t$ pairwise disjoint sets of size $r-1$ and $Y$ is a set of size $s$ disjoint from each $X_i$. This study was initially explored by Erdős and has since received substantial attention in research. Recent advancements by Bradač, Gishboliner, Janzer and Sudakov have greatly contributed to a better understanding of this problem. They proved that $ex(n,K_{s,t}^{(r)})=O_{s,t}(n^{r-\frac{1}{s-1}})$ holds for any $r\geq 3$ and $s,t\geq 2$. They also provided constructions illustrating the tightness of this bound if $r\geq 4$ is {\it even} and $t\gg s\geq 2$. Furthermore, they proved that $ex(n,K_{s,t}^{(3)})=O_{s,t}(n^{3-\frac{1}{s-1}-\varepsilon_s})$ holds for $s\geq 3$ and some $ε_s>0$. Addressing this intriguing discrepancy between the behavior of this number for $r=3$ and the even cases, Bradač et al. post a question of whether \begin{equation*} \mbox{$ex(n,K_{s,t}^{(r)})= O_{r,s,t}(n^{r-\frac{1}{s-1}- \varepsilon})$ holds for odd $r\geq 5$ and any $s\geq 3$.} \end{equation*} In this paper, we provide an affirmative answer to this question, utilizing novel techniques to identify regular and dense substructures. This result highlights a rare instance in hypergraph Turán problems where the solution depends on the parity of the uniformity.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در این مقاله ، ما به شماره Hypergraph Turán $ ex (n ، k^{(r)} _ {s ، t}) $ بررسی می کنیم.در اینجا ، $ k^{(r)} _ {s ، t} $ $ hypergraph $ r $ -uniform را با vertex set $ \ سمت چپ (\ cup_ {i \ in [t]} x_i \ راست) \ cup y $ $ نشان می دهد.و Edge $ \ {x_i \ cup \ {y \}: i \ in [t] ، y \ in y \} $ ، جایی که $ x_1 ، x_2 ، \ cdots ، x_t $ $ t $ مجموعه های جداگانه از اندازه است$ R-1 $ و $ y $ مجموعه ای از اندازه $ S $ جدا از هر $ x_i $ است.این مطالعه در ابتدا توسط ERDőS مورد بررسی قرار گرفت و از آن زمان توجه قابل توجهی در تحقیقات داشته است.پیشرفت های اخیر توسط Bradač ، Gishboliner ، Janzer و Sudakov تا حد زیادی در درک بهتر این مشکل نقش داشته است.آنها ثابت کردند که $ ex (n ، k_ {s ، t}^{(r)}) = o_ {s ، t} (n^{r- \ frac {1} {s-1}}) $ برای هر$ r \ geq 3 $ و $ s ، t \ geq 2 $.آنها همچنین ساختارهایی را ارائه می دادند که نشان دهنده سفتی این محدوده است اگر $ r \ geq 4 $ {\ It} و $ t \ gg s \ geq 2 $ باشد.علاوه بر این ، آنها ثابت کردند که $ ex (n ، k_ {s ، t}^{(3)}) = o_ {s ، t} (n^{3- \ frac {1} {s-1}-\ varepsilon_s}) $ برای $ s \ geq 3 $ و برخی $ ε_s> 0 $ نگه می دارد.با توجه به این اختلاف جذاب بین رفتار این شماره برای $ r = 3 $ و موارد حتی ، Bradeč و همکاران.یک سؤال را ارسال کنید که آیا \ start {معادله*} \ mbox {$ ex (n ، k_ {s ، t}^{(r)}) = o_ {r ، s ، t} (n^{r- \ frac {1} {s-1}- \ varepsilon}) $ برای عجیب و غریب $ r \ geq 5 $ و هر $ s \ geq 3 $ نگه می دارد.، استفاده از تکنیک های جدید برای شناسایی زیر ساخت های منظم و متراکم.این نتیجه یک نمونه نادر در مشکلات Hypergraph Turán را برجسته می کند که در آن محلول به برابری یکنواختی بستگی دارد.