ترجمه فارسی مقاله قضیه بورل-برنشتاین و بعد هاسدورف مجموعه ها در بسط گاوس مانند قدرت-2-واپاشی

چکیده

Each $x\in (0,1]$ can be uniquely expanded as a power-2-decaying Gauss-like expansion, in the form of $$ x=\sum_{i=1}^{\infty}2^{-(d_1(x)+d_2(x)+\cdots+d_i(x))},\qquad d_i(x)\in \mathbb{N}. $$ Let $φ:\mathbb{N}\to \mathbb{R}^{+}$ be an arbitrary positive function. We are interested in the size of the set $$F(φ)=\{x\in (0,1]:d_n(x)\ge φ(n)~~\text{i.m.}~n\}.$$ We prove a Borel-Bernstein theorem on the zero-one law of the Lebesgue measure of $F(φ)$. We also obtain the Hausdorff dimension of $F(φ)$.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

هر $ x \ in (0،1] $ را می توان به صورت منحصر به فرد به عنوان یک گسترش Gauss مانند قدرت-2 ، به شکل $ $ x = \ sum_ {i = 1}^{\ infty} 2^{گسترش داد.-(d_1 (x)+d_2 (x)+\ cdots+d_i (x))} ، \ qquad d_i (x) \ in \ mathbb {n}. $ $ اجازه دهید $ φ: \ mathbb {n} \ to \ \Mathbb {r}^{+} $ یک عملکرد مثبت دلخواه باشد. ما به اندازه مجموعه $ $ f (φ) = \ {x \ in (0،1]: d_n (x) \ ge φ (علاقه مند هستیم.n) ~~ \ TEXT {I.M.} ~ n \}. $ $ ما یک قضیه Borel-Bernstein را در مورد قانون صفر یک اندازه گیری Lebesgue از $ f (φ) $ اثبات می کنیم.(φ) $.