ترجمه فارسی مقاله شبکه‌های عصبی عمیق نامتغیر تحت گروه متناهی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی

چکیده

Utilizing physics-informed neural networks (PINN) to solve partial differential equations (PDEs) becomes a hot issue and also shows its great powers, but still suffers from the dilemmas of limited predicted accuracy in the sampling domain and poor prediction ability beyond the sampling domain which are usually mitigated by adding the physical properties of PDEs into the loss function or by employing smart techniques to change the form of loss function for special PDEs. In this paper, we design a symmetry-enhanced deep neural network (sDNN) which makes the architecture of neural networks invariant under the finite group through expanding the dimensions of weight matrixes and bias vectors in each hidden layers by the order of finite group if the group has matrix representations, otherwise extending the set of input data and the hidden layers except for the first hidden layer by the order of finite group. However, the total number of training parameters is only about one over the order of finite group of the original PINN size due to the symmetric architecture of sDNN. Furthermore, we give special forms of weight matrixes and bias vectors of sDNN, and rigorously prove that the architecture itself is invariant under the finite group and the sDNN has the universal approximation ability to learn the function keeping the finite group. Numerical results show that the sDNN has strong predicted abilities in and beyond the sampling domain and performs far better than the vanilla PINN with fewer training points and simpler architecture.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

استفاده از شبکه های عصبی آگاه از فیزیک (PINN) برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) به یک مسئله داغ تبدیل می شود و همچنین قدرتهای بزرگ آن را نشان می دهد ، اما هنوز هم از معضلات دقت پیش بینی شده محدود در دامنه نمونه برداری و توانایی پیش بینی ضعیف فراتر از دامنه نمونه برداری رنج می برد.که معمولاً با افزودن خصوصیات بدنی PDE به عملکرد ضرر یا با استفاده از تکنیک های هوشمند برای تغییر شکل عملکرد ضرر برای PDE های ویژه کاهش می یابد.در این مقاله ، ما یک شبکه عصبی عمیق تقارن (SDNN) را طراحی می کنیم که باعث می شود معماری شبکه های عصبی از طریق گسترش ابعاد ماتریس های وزن و بردارهای تعصب در هر لایه پنهان به ترتیب گروه محدود ، در زیر گروه محدود متغیر باشد.گروه دارای بازنمایی ماتریس است ، در غیر این صورت مجموعه داده های ورودی و لایه های پنهان را به جز اولین لایه پنهان به ترتیب گروه محدود گسترش می دهد.با این حال ، تعداد کل پارامترهای آموزشی تنها در مورد یک گروه محدود از اندازه اصلی PINN به دلیل معماری متقارن SDNN است.علاوه بر این ، ما اشکال خاصی از ماتریس های وزن و بردارهای تعصب SDNN می دهیم و به شدت ثابت می کنیم که معماری خود تحت گروه محدود ثابت است و SDNN توانایی تقریبی جهانی در یادگیری عملکرد را در حفظ گروه محدود دارد.نتایج عددی نشان می دهد که SDNN توانایی های پیش بینی شده قوی را در دامنه نمونه برداری و فراتر از آن دارد و به مراتب بهتر از پین وانیل با نقاط آموزشی کمتری و معماری ساده تر عمل می کند.