ترجمه فارسی مقاله راه حل های غیر منفی یک مسئله بیضوی زیرخطی

چکیده

In this paper the existence of solutions, $(λ,u)$, of the problem $$-Δu=λu -a(x)|u|^{p-1}u \quad \hbox{in }Ω, \qquad u=0 \quad \hbox{on}\;\;\partialΩ,$$ is explored for $0 < p < 1$. When $p>1$, it is known that there is an unbounded component of such solutions bifurcating from $(σ_1, 0)$, where $σ_1$ is the smallest eigenvalue of $-Δ$ in $Ω$ under Dirichlet boundary conditions on $\partialΩ$. These solutions have $u \in P$, the interior of the positive cone. The continuation argument used when $p>1$ to keep $u \in P$ fails if $0 < p < 1$. Nevertheless when $0 < p < 1$, we are still able to show that there is a component of solutions bifurcating from $(σ_1, \infty)$, unbounded outside of a neighborhood of $(σ_1, \infty)$, and having $u \gneq 0$. This non-negativity for $u$ cannot be improved as is shown via a detailed analysis of the simplest autonomous one-dimensional version of the problem: its set of non-negative solutions possesses a countable set of components, each of them consisting of positive solutions with a fixed (arbitrary) number of bumps. Finally, the structure of these components is fully described.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در این مقاله وجود راه حل ها ، $ (λ ، u) $ ، از مشکل $ $-ΔU = λu -a (x) | u |^{p-1} u \ quad \ hbox {in} ω ، \qquad u = 0 \ quad \ hbox {on} \ ؛ \ ؛ \ partialΩ ، $ $ با قیمت 0 $

1 $ ، مشخص شده است که یک مؤلفه بدون مرز از چنین راه حل هایی که از $ (σ_1 ، 0) $ استفاده می شود وجود دارد ، جایی که $ σ_1 $ کوچکترین مقادیر ویژه $ $ در $ ω $ در شرایط مرزی Dirichlet است.در $ \ partialΩ $.این راه حل ها دارای u \ u \ در p $ ، فضای داخلی مخروط مثبت است.استدلال ادامه استفاده شده در هنگام استفاده از $ p> 1 $ برای نگه داشتن $ u \ in p $ اگر 0 دلار