ترجمه فارسی مقاله در مورد مسئله-$(k+2,k)$ Brown، Erdős و Sós برای $k=5,6,7$

چکیده

Let $f^{(r)}(n;s,k)$ denote the maximum number of edges in an $n$-vertex $r$-uniform hypergraph containing no subgraph with $k$ edges and at most $s$ vertices. Brown, Erdős and Sós [New directions in the theory of graphs (Proc. Third Ann Arbor Conf., Univ. Michigan 1971), pp. 53–63, Academic Press 1973] conjectured that the limit $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{-2}f^{(3)}(n;k+2,k)$ exists for all $k$. The value of the limit was previously determined for $k=2$ in the original paper of Brown, Erdős and Sós, for $k=3$ by Glock [Bull. Lond. Math. Soc. 51 (2019) 230–236] and for $k=4$ by Glock, Joos, Kim, Kühn, Lichev and Pikhurko [arXiv:2209.14177, accepted by Proc. Amer. Math. Soc.] while Delcourt and Postle [arXiv:2210.01105, accepted by Proc. Amer. Math. Soc.] proved the conjecture (without determining the limiting value). In this paper, we determine the value of the limit in the Brown-Erdős-Sós Problem for $k\in \{5,6,7\}$. More generally, we obtain the value of $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{-2}f^{(r)}(n;rk-2k+2,k)$ for all $r\geq 3$ and $k\in \{5,6,7\}$. In addition, by combining these new values with recent results of Bennett, Cushman and Dudek [arXiv:2309.00182] we obtain new asymptotic values for several generalised Ramsey numbers.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

اجازه دهید $ f^{(r)} (n ؛ s ، k) $ حداکثر تعداد لبه ها را در یک $ n $ -vertex $ r $ -نوای شکل حاوی هیچ زیرگراف با لبه های $ $ و حداکثر $ $ نشان دهید.رگه ها.براون ، erdős و sós [دستورالعمل های جدید در تئوری نمودارها (Proc. سوم آن آربور ، Univ. Michigan 1971) ، صص 53–63 ، Academic Press 1973] حدس زد که حد $ \ lim_ {n {n \ RightArrow\ Infty} n^{-2} f^{(3)} (n ؛ k+2 ، k) $ برای همه $ k $ وجود دارد.مقدار حد قبلاً برای $ k = 2 $ در مقاله اصلی قهوه ای ، erdős و sós تعیین شده بود ، برای $ k = 3 $ توسط Glock [Bull.لند.ریاضی.SOC.51 (2019) 230–236] و برای $ k = 4 $ توسط Glock ، Joos ، Kim ، Kühn ، Lichev و Pikhurko [Arxiv: 2209.14177 ، پذیرفته شده توسط Proc.عامرریاضی.Soc.] در حالی که Delcourt و Postle [Arxiv: 2210.01105 ، پذیرفته شده توسط Proc.عامرریاضی.Soc.] حدس را اثبات کرد (بدون تعیین مقدار محدود کننده).در این مقاله ، ما مقدار حد مجاز در مشکل قهوه ای-ارسا را برای $ k \ در \ 5،6،7 \} $ تعیین می کنیم.به طور کلی ، ما مقدار $ \ lim_ {n \ Rightarrow \ Infty} n^{-2} f^{(r)} (n ؛ rk-2k+2 ، k) $ را برای همه $ r \ geq 3 بدست می آوریم.$ و $ k \ in \ {5،6،7 \} $.علاوه بر این ، با ترکیب این مقادیر جدید با نتایج اخیر بنت ، کوشمن و داودک [Arxiv: 2309.00182] ما مقادیر مجانبی جدید را برای چندین شماره رمزی عمومی بدست می آوریم.