ترجمه فارسی مقاله ابعاد تقریب دیوفانتین و برنامه های کاربردی

چکیده

In this paper we construct a new family of sets via Diophantine approximation, in which the classical examples are endpoints. Our first application is on their Hausdorff dimension. We show a recent result of Ren and Wang, known sharp on orthogonal projections in the plane, is also sharp on $A+cB$, $c\in C$, thus completely settle this ABC sum-product problem. Higher dimensional examples are also discussed. In addition to Hausdorff dimension, we also consider Fourier dimension. In particular, now for every $0\leq t\leq s\leq 1$ we have an explicit construction in $\mathbb{R}$ of Hausdorff dimension $s$ and Fourier dimension $t$, together with a measure $μ$ that captures both dimensions. In the end we provide a perspective of Knapp’s example and treat our Diophantine approximation as its analog in $\mathbb{R}$, that naturally leads to the sharpness of Mockenhaupt-Mitsis-Bak-Seeger Fourier restriction theorem. These are alternatives of recent examples due to Fraser-Hambrook-Ryou. In particular, to deal with the non-geometric case we construct measures of “Hausdorff dimension” $a$ and Fourier dimension $b$, even if $a

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در این مقاله ما خانواده جدیدی از مجموعه ها را از طریق تقریب دیوفانتین ایجاد می کنیم ، که در آن نمونه های کلاسیک نقاط پایانی هستند.اولین برنامه ما در ابعاد Hausdorff آنها است.ما نتیجه اخیر از رن و وانگ را نشان می دهیم ، که در پیش بینی های متعامد در هواپیما ، شارپ شارپ شناخته شده است ، همچنین بر روی $ A+CB $ ، $ C \ in C $ تیز است ، بنابراین این مشکل محصول ABC را کاملاً حل می کند.مثالهای بعدی بالاتر نیز مورد بحث قرار گرفته است.علاوه بر بعد هاوسدورف ، ابعاد فوریه را نیز در نظر می گیریم.به طور خاص ، اکنون برای هر $ 0 \ leq t \ leq s \ leq 1 $ ما یک ساخت و ساز صریح در $ \ mathbb {r} $ ابعاد hausdorff $ s $ s $ s $ s $ t $ ، همراه با یک اندازه $ $ μ $ داریم.این هر دو بعد را ضبط می کند.در پایان ، ما چشم انداز نمونه Knapp را ارائه می دهیم و تقریب دیوفانتین خود را به عنوان آنالوگ آن در $ \ Mathbb {R} $ درمان می کنیم ، که به طور طبیعی منجر به وضوح قضیه محدودیت محدودیت Mockenhaupt-Mitsis-Bak-Seeger می شود.اینها گزینه های دیگری از نمونه های اخیر به دلیل فریزر-هامبروک-ریو است.به طور خاص ، برای مقابله با مورد غیر جلومتریک ، ما اقدامات “ابعاد Hausdorff” $ A $ و Fourier $ B $ را حتی اگر $ A