ترجمه فارسی مقاله Drinfel d Doubles ، پیچ و تاب و همه چیز … در هندسه رشته ای و تئوری M

چکیده

Drinfel’d double of Lie bialgebroids plays an important role in T-duality of string theories. In the presence of $H$ and $R$ fluxes, Lie bialgebroids should be extended to proto Lie bialgebroids. For both cases, the pair is given by two dual vector bundles, and the Drinfel’d double yields a Courant algebroid. However for U-duality, more complicated direct sum decompositions that are not described by dual vector bundles appear. In a previous work, we extended the notion of a Lie bialgebroid for vector bundles that are not necessarily dual. We achieved this by introducing a framework of calculus on algebroids and examining compatibility conditions for various algebroid properties in this framework. Here our aim is two-fold: extending our work on bialgebroids to include both $H$- and $R$-twists, and generalizing proto Lie bialgebroids to pairs of arbitrary vector bundles. To this end, we analyze various algebroid axioms and derive twisted compatibility conditions in the presence of twists. We introduce the notion of proto bialgebroids and their Drinfel’d doubles, where the former generalizes both bialgebroids and proto Lie bialgebroids. We also examine the most general form of vector bundle automorphisms of the double, related to twist matrices, that generate a new bracket from a given one. We analyze various examples from both physics and mathematics literatures in our framework.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

Drinfel’d Double of Lie bialgebroids نقش مهمی در دوگانگی نظریه های رشته ایفا می کند.در حضور شار $ H $ و $ R $ ، باید Bialgebroids Lie به Bialgebroids Lie Lie گسترش یابد.برای هر دو مورد ، این جفت توسط دو بسته بردار دوگانه داده می شود ، و Drinfel’d Double یک جبر Courant را به دست می آورد.با این حال ، برای دوگانگی U ، تجزیه مستقیم جمع مستقیم که توسط بسته های بردار دوگانه توصیف نشده است.در یک کار قبلی ، ما مفهوم یک جبهه دروغ را برای بسته های بردار که لزوماً دوگانه نیستند ، گسترش دادیم.ما با معرفی چارچوبی از حساب در جبر و بررسی شرایط سازگاری برای خصوصیات مختلف جبری در این چارچوب ، این مسئله را به دست آوردیم.در اینجا هدف ما دو برابر است: گسترش کار ما در مورد Bialgebroids شامل هر دو $ H $-و $ R $-Twists ، و تعمیم Bialgebroids Lie Lie به جفت بسته های بردار خودسرانه.برای این منظور ، ما بدیهیات مختلف جبر را تجزیه و تحلیل می کنیم و شرایط سازگاری پیچ خورده را در حضور پیچ و تاب ها به دست می آوریم.ما مفهوم bialbroids proto و drinfeld آنها را معرفی می کنیم ، جایی که اولی هر دو جبهه های bialgebroids و bialbroids دروغ را تعمیم می دهد.ما همچنین کلی ترین شکل خودروسازی بسته های بردار از دوتایی ، مربوط به ماتریس های پیچ و تاب را بررسی می کنیم که یک براکت جدید از یک مورد خاص تولید می کنند.ما نمونه های مختلفی را از ادبیات فیزیک و ریاضیات در چارچوب خود تجزیه و تحلیل می کنیم.