ترجمه فارسی مقاله طراحی بهینه برای برآورد خطای باقیمانده برای هنجارهای ماتریس و بردار

چکیده

We study the problem of residual error estimation for matrix and vector norms using a linear sketch. Such estimates can be used, for example, to quickly assess how useful a more expensive low-rank approximation computation will be. The matrix case concerns the Frobenius norm and the task is to approximate the $k$-residual $\|A – A_k\|_F$ of the input matrix $A$ within a $(1+ε)$-factor, where $A_k$ is the optimal rank-$k$ approximation. We provide a tight bound of $Θ(k^2/ε^4)$ on the size of bilinear sketches, which have the form of a matrix product $SAT$. This improves the previous $O(k^2/ε^6)$ upper bound in (Andoni et al. SODA 2013) and gives the first non-trivial lower bound, to the best of our knowledge. In our algorithm, our sketching matrices $S$ and $T$ can both be sparse matrices, allowing for a very fast update time. We demonstrate that this gives a substantial advantage empirically, for roughly the same sketch size and accuracy as in previous work. For the vector case, we consider the $\ell_p$-norm for $p>2$, where the task is to approximate the $k$-residual $\|x – x_k\|_p$ up to a constant factor, where $x_k$ is the optimal $k$-sparse approximation to $x$. Such vector norms are frequently studied in the data stream literature and are useful for finding frequent items or so-called heavy hitters. We establish an upper bound of $O(k^{2/p}n^{1-2/p}\operatorname{poly}(\log n))$ for constant $ε$ on the dimension of a linear sketch for this problem. Our algorithm can be extended to the $\ell_p$ sparse recovery problem with the same sketching dimension, which seems to be the first such bound for $p > 2$. We also show an $Ω(k^{2/p}n^{1-2/p})$ lower bound for the sparse recovery problem, which is tight up to a $\mathrm{poly}(\log n)$ factor.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما مشکل تخمین خطای باقیمانده را برای هنجارهای ماتریس و بردار با استفاده از یک طرح خطی بررسی می کنیم.به عنوان مثال می توان از چنین تخمین هایی استفاده کرد تا به سرعت ارزیابی شود که محاسبات تقریبی با رتبه پایین گرانتر چقدر مفید خواهد بود.مورد ماتریس مربوط به هنجار Frobenius است و وظیفه این است که تقریب $ k $ -residual $ \ | a-a_k \ | _f $ ماتریس ورودی $ a $ $ در یک $ (1+ε) $-که در آن $ $A_K $ RACKINATION بهینه است-تقریب $ k $.ما یک محدوده محکم از $ θ (k^2/ε^4) $ در اندازه طرح های دو طرفه ، که دارای فرم یک محصول ماتریس $ Sat $ هستند ، ارائه می دهیم.این باعث می شود $ O قبلی (k^2/ε^6) $ $ بالا در (Andoni et al. Soda 2013) باشد و اولین دانش ما را به بهترین دانش ما می بخشد.در الگوریتم ما ، ماتریس های طراحی ما $ S $ و $ t $ می توانند هر دو ماتریس پراکنده باشند و این امکان را برای زمان بروزرسانی بسیار سریع فراهم می کند.ما نشان می دهیم که این یک مزیت قابل توجهی از نظر تجربی ، برای تقریباً همان اندازه و صحت طرح مانند کار قبلی می دهد.برای مورد وکتور ، ما $ \ ell_p $ -norm را برای $ p> 2 $ در نظر می گیریم ، جایی که وظیفه تقریب $ k $ -residual $ \ | x-x_k \ | _p $ تا یک عامل ثابت است ، جایی که در آن$ x_k $ بهینه $ k $ تقریب به $ x $ است.چنین هنجارهای بردار غالباً در ادبیات جریان داده مورد مطالعه قرار می گیرند و برای یافتن موارد مکرر یا به اصطلاح هیت های سنگین مفید هستند.ما یک حد بالایی از $ o (k^{2/p} n^{1-2/p} \ operatorname {poly} (\ log n)) $ برای ثابت $ ε $ در ابعاد یک طرح خطی برایاین مشکلالگوریتم ما را می توان به مشکل بازیابی پراکنده $ \ el_p $ با همان ابعاد طراحی ، که به نظر می رسد اولین بار برای $ p> 2 $ است ، گسترش داد.ما همچنین یک $ ω (k^{2/p} n^{1-2/p}) $ را برای مشکل بازیابی پراکنده نشان می دهیم ، که محکم است تا یک $ \ mathrm {poly} (\ log n)فاکتور $