ترجمه فارسی مقاله نمونه‌بردار HJ: نمونه‌بردار بیزی برای مسائل معکوس فرآیند تصادفی با استفاده از PDE هامیلتون-جاکوبی و مدل‌های مولد مبتنی بر امتیاز

چکیده

The interplay between stochastic processes and optimal control has been extensively explored in the literature. With the recent surge in the use of diffusion models, stochastic processes have increasingly been applied to sample generation. This paper builds on the log transform, known as the Cole-Hopf transform in Brownian motion contexts, and extends it within a more abstract framework that includes a linear operator. Within this framework, we found that the well-known relationship between the Cole-Hopf transform and optimal transport is a particular instance where the linear operator acts as the infinitesimal generator of a stochastic process. We also introduce a novel scenario where the linear operator is the adjoint of the generator, linking to Bayesian inference under specific initial and terminal conditions. Leveraging this theoretical foundation, we develop a new algorithm, named the HJ-sampler, for Bayesian inference for the inverse problem of a stochastic differential equation with given terminal observations. The HJ-sampler involves two stages: (1) solving the viscous Hamilton-Jacobi partial differential equations, and (2) sampling from the associated stochastic optimal control problem. Our proposed algorithm naturally allows for flexibility in selecting the numerical solver for viscous HJ PDEs. We introduce two variants of the solver: the Riccati-HJ-sampler, based on the Riccati method, and the SGM-HJ-sampler, which utilizes diffusion models. We demonstrate the effectiveness and flexibility of the proposed methods by applying them to solve Bayesian inverse problems involving various stochastic processes and prior distributions, including applications that address model misspecifications and quantifying model uncertainty.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

تعامل بین فرآیندهای تصادفی و کنترل بهینه به طور گسترده در ادبیات مورد بررسی قرار گرفته است.با افزایش اخیر در استفاده از مدل های انتشار ، فرآیندهای تصادفی به طور فزاینده ای برای تولید نمونه اعمال می شود.این مقاله بر روی تبدیل log ، معروف به تبدیل Cole-HOPF در زمینه های حرکت براون ساخته شده است و آن را در یک چارچوب انتزاعی تر که شامل یک اپراتور خطی است ، گسترش می دهد.در این چارچوب ، ما دریافتیم که رابطه شناخته شده بین تبدیل Cole-HOPF و حمل و نقل بهینه نمونه خاصی است که اپراتور خطی به عنوان ژنراتور بی نهایت یک فرآیند تصادفی عمل می کند.ما همچنین یک سناریوی جدید را معرفی می کنیم که در آن اپراتور خطی مجاور ژنراتور است و به استنتاج بیزی در شرایط اولیه و ترمینال خاص پیوند می یابد.با استفاده از این بنیاد نظری ، ما یک الگوریتم جدید به نام HJ-Sampler را برای استنباط بیزی برای مشکل معکوس یک معادله دیفرانسیل تصادفی با مشاهدات ترمینال داده شده تهیه می کنیم.HJ-Sampler شامل دو مرحله است: (1) حل معادلات دیفرانسیل جزئی و چسبناک همیلتون-ژاکوبی ، و (2) نمونه برداری از مشکل کنترل بهینه تصادفی مرتبط.الگوریتم پیشنهادی ما به طور طبیعی امکان انعطاف پذیری را در انتخاب حل کننده عددی برای HJ PDE های چسبناک فراهم می کند.ما دو نوع حل کننده را معرفی می کنیم: Riccati-HJ-Sampler ، بر اساس روش Riccati ، و SGM-HJ-Sampler ، که از مدل های انتشار استفاده می کند.ما اثربخشی و انعطاف پذیری روشهای پیشنهادی را با استفاده از آنها برای حل مشکلات معکوس بیزی شامل فرآیندهای مختلف تصادفی و توزیع های قبلی ، از جمله برنامه هایی که به اشتباهات مدل و تعیین عدم اطمینان مدل می پردازند ، نشان می دهیم.