ترجمه فارسی مقاله محاسبه نقاط ثابت Bouligand به طور موثر در بهینه سازی رتبه پایین

چکیده

This paper considers the problem of minimizing a differentiable function with locally Lipschitz continuous gradient on the algebraic variety of all $m$-by-$n$ real matrices of rank at most $r$. Several definitions of stationarity exist for this nonconvex problem. Among them, Bouligand stationarity is the strongest necessary condition for local optimality. Only a handful of algorithms generate a sequence in the variety whose accumulation points are provably Bouligand stationary. Among them, the most parsimonious with (truncated) singular value decompositions (SVDs) or eigenvalue decompositions can still require a truncated SVD of a matrix whose rank can be as large as $\min\{m, n\}-r+1$ if the gradient does not have low rank, which is computationally prohibitive in the typical case where $r \ll \min\{m, n\}$. This paper proposes a first-order algorithm that generates a sequence in the variety whose accumulation points are Bouligand stationary while requiring SVDs of matrices whose smaller dimension is always at most $r$. A standard measure of Bouligand stationarity converges to zero along the bounded subsequences at a rate at least $O(1/\sqrt{i+1})$, where $i$ is the iteration counter. Furthermore, a rank-increasing scheme based on the proposed algorithm is presented, which can be of interest if the parameter $r$ is potentially overestimated.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در این مقاله مشکل به حداقل رساندن یک عملکرد متفاوت با شیب مداوم Lipschitz در انواع جبری از همه $ m $ -by- $ n $ ماتریس واقعی رتبه حداکثر $ R $ در نظر گرفته شده است.تعاریف متعددی از ثابت بودن برای این مشکل غیر کنفکس وجود دارد.در میان آنها ، Bouligand Standarity قوی ترین شرط لازم برای بهینه سازی محلی است.فقط تعداد معدودی از الگوریتم ها دنباله ای را در تنوع ایجاد می کنند که نقاط تجمع آن به طور واقعی بولیگاند ثابت است.در میان آنها ، بیشترین تجزیه و تحلیل با (SVD) یا تجزیه مقادیر ویژه ای هنوز هم می تواند به SVD کوتاه یک ماتریس نیاز داشته باشد که رتبه آن می تواند به اندازه $ \ min \ {m ، n \}-r+1 $ باشد.اگر شیب دارای رتبه پایین نباشد ، که در مورد معمولی که در آن $ r \ ll \ min \ {m ، n \} $ از نظر محاسباتی ممنوع است.این مقاله یک الگوریتم مرتبه اول را ارائه می دهد که دنباله ای را در انواع مختلفی ایجاد می کند که نقاط تجمع آنها ثابت است در حالی که نیاز به SVD از ماتریس دارد که بعد کوچکتر آنها همیشه حداکثر R $ است.یک اندازه گیری استاندارد از Standarity Bouligand به صفر در امتداد پسران محدود با نرخ حداقل $ O (1/\ SQRT {I+1}) $ همگرا می شود ، جایی که $ i $ پیشخوان تکرار است.علاوه بر این ، یک طرح افزایش رتبه بر اساس الگوریتم پیشنهادی ارائه شده است ، که اگر پارامتر $ r $ به طور بالقوه بیش از حد ارزیابی شود ، می تواند مورد توجه باشد.