ترجمه فارسی مقاله تخمین های شدید برای هنجارهای گورز در مکعب های گسسته

چکیده

We study optimal dimensionless inequalities $$ \|f\|_{U^k} \leq \|f\|_{\ell^{p_{k,n}}} $$ that hold for all functions $f\colon\mathbb{Z}^d\to\mathbb{C}$ supported in $\{0,1,\ldots,n-1\}^d$ and estimates $$ \|1_A\|_{U^k}^{2^k}\leq |A|^{t_{k,n}} $$ that hold for all subsets $A$ of the same discrete cubes. A general theory, analogous to the work of de Dios Pont, Greenfeld, Ivanisvili, and Madrid, is developed to show that the critical exponents are related by $p_{k,n} t_{k,n} = 2^k$. This is used to prove the three main results of the paper: an explicit formula for $t_{k,2}$, which generalizes a theorem by Kane and Tao, two-sided asymptotic estimates for $t_{k,n}$ as $n\to\infty$ for a fixed $k\geq2$, which generalize a theorem by Shao, and a precise asymptotic formula for $t_{k,n}$ as $k\to\infty$ for a fixed $n\geq2$.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما نابرابری های بهینه بدون بعد $ $ \ | f \ | _ {u^k} \ leq \ | f \ | _ {\ el^{p_ {k ، n}}} $ $ را که برای همه توابع $ f \ colon نگه داشته می شود ، مطالعه می کنیم.\ mathbb {z}^d \ to \ mathbb {c} $ پشتیبانی شده در $ \ {0،1 ، \ ldots ، n-1 \}^d $ و تخمین می زند $ $ \ | 1_a \ | _ {u^k}^{2^k} \ leq | a |^{t_ {k ، n}} $ $ که برای همه زیر مجموعه ها $ $ از همان مکعب های گسسته نگه داشته می شود.یک تئوری کلی ، مشابه کار De Dios Pont ، Greenfeld ، Ivanisvili و مادرید ، ساخته شده است تا نشان دهد که نمایندگان مهم با $ p_ {k ، n} t_ {k ، n} = 2^k $ مرتبط هستند.این برای اثبات سه نتیجه اصلی مقاله استفاده می شود: یک فرمول صریح برای $ t_ {k ، 2} $ ، که یک قضیه توسط کین و تائو را تعمیم می دهد ، تخمین های بدون علامت دو طرفه برای $ t_ {k ، n} $ به عنوان$ n \ to \ infty $ برای یک $ k \ geq2 $ ثابت ، که یک قضیه توسط shao را تعمیم می دهد ، و یک فرمول دقیق بدون علامت برای $ t_ {k ، n} $ به عنوان $ k \ to \ infty $ برای یک $ ثابت $ n\ geq2 $.