ترجمه فارسی مقاله جریان رقابتی Hele-Shaw و دیفرانسیل های درجه دوم

چکیده

We introduce and investigate a generalization of the Hele-Shaw flow with injection where several droplets compete for space as they try to expand due to internal pressure while still preserving their topology. Droplets are described by their closed non-crossing interface curves in $\mathbb{C}$ or more generally in a Riemann surface of finite type. Our main focus is on stationary solutions which we show correspond to the critical vertical trajectories of a particular quadratic differential with second order poles at the source points. The quadratic differentials that arise in this way have a simple description in terms of their associated half-translation surfaces. Existence of stationary solutions is proved in some generality by solving an extremal problem involving an electrostatic energy functional, generalizing a classic problem studied by Teichmüller, Jenkins, Strebel and others. We study several special cases, including stationary Jordan curves on the Riemann sphere. We also introduce a discrete random version of the dynamics closely related to Propp’s competitive erosion model, and conjecture that realizations of the lattice model will converge towards a corresponding solution to the competitive Hele-Shaw problem as the mesh size tends to zero.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما تعمیم جریان Hele-Shaw را با تزریق معرفی و بررسی می کنیم که در آن چندین قطره برای فضا رقابت می کنند ، زیرا آنها به دلیل فشار داخلی سعی می کنند در حالی که هنوز هم توپولوژی خود را حفظ می کنند ، گسترش پیدا کنند.قطرات توسط منحنی های رابط غیر عبور بسته آنها در $ \ Mathbb {C} $ یا به طور کلی در یک سطح ریمان از نوع محدود توصیف شده است.تمرکز اصلی ما روی راه حل های ثابت است که ما نشان می دهیم با مسیرهای مهم عمودی یک دیفرانسیل درجه دوم خاص با قطب های مرتبه دوم در نقاط منبع مطابقت دارد.دیفرانسیل های درجه دوم که از این طریق بوجود می آیند ، از نظر سطوح نیمه ترجمه در ارتباط با توصیف ساده ای دارند.وجود راه حل های ثابت در برخی از کلیت ها با حل یک مشکل افراطی که شامل یک عملکرد انرژی الکترواستاتیک است ، تعمیم یک مشکل کلاسیک که توسط Teichmüller ، Jenkins ، Strebel و دیگران مورد مطالعه قرار گرفته است ، اثبات شده است.ما چندین مورد خاص از جمله منحنی های جردن ثابت را در کره ریمان مطالعه می کنیم.ما همچنین یک نسخه تصادفی گسسته از پویایی را که از نزدیک با مدل فرسایش رقابتی PROPP مرتبط است ، معرفی می کنیم و حدس می زنیم که تحقق مدل شبکه به سمت یک راه حل مربوطه برای مشکل رقابتی Hele-Shaw همگرا خواهد شد زیرا اندازه مش به صفر می رسد.