کتاب صوتی جعبه ابزار ریاضی برنامه‌نویسان: از تئوری تا کدنویسی الگوریتم‌ها

🎓 دوره آموزشی جامع

📚 اطلاعات دوره

عنوان دوره: دوره جعبه ابزار ریاضی برنامه‌نویسان: از تئوری تا کدنویسی الگوریتم‌ها

موضوع کلی: ریاضیات محاسباتی

موضوع میانی: برنامه‌نویسی علمی و عددی

📋 سرفصل‌های دوره

• 1. مقدمه‌ای بر ریاضیات محاسباتی و برنامه‌نویسی علمی
• 2. راه‌اندازی محیط توسعه: پایتون، NumPy و SciPy
• 3. اعداد ممیز شناور، دقت و خطای محاسباتی
• 4. تحلیل و انتشار خطا در محاسبات عددی
• 5. نمایش بردارها و ماتریس‌ها در کد
• 6. مقدمه‌ای بر پیچیدگی الگوریتم‌ها (Big O)
• 7. پیاده‌سازی توابع ریاضی پایه (لگاریتم، توابع مثلثاتی)
• 8. کار با اعداد مختلط در برنامه‌نویسی
• 9. نمایش و ارزیابی چندجمله‌ای‌ها
• 10. مبانی بصری‌سازی داده‌های علمی با Matplotlib
• 11. خواندن و نوشتن داده‌های عددی از فایل‌ها
• 12. عملیات پایه بر روی بردارها: جمع، تفریق و ضرب اسکالر
• 13. محاسبه ضرب داخلی و خارجی بردارها
• 14. نرم و فاصله در فضاهای برداری
• 15. عملیات پایه ماتریسی: جمع، ضرب و ترانهاده
• 16. ضرب ماتریس‌ها: الگوریتم‌ها و بهینه‌سازی
• 17. دستگاه معادلات خطی: مقدمه و فرمولاسیون
• 18. روش حذف گاوسی و جایگزینی پسرو
• 19. مفهوم دترمینان و روش‌های محاسبه آن
• 20. محاسبه ماتریس معکوس
• 21. تجزیه LU و کاربردهای آن
• 22. تجزیه Cholesky برای ماتریس‌های متقارن معین مثبت
• 23. روش‌های تکراری برای حل دستگاه معادلات: ژاکوبی
• 24. روش گوس-سایدل و تحلیل همگرایی
• 25. مفهوم عدد حالت (Condition Number) و پایداری دستگاه‌ها
• 26. مسئله مقدار ویژه و بردار ویژه: مقدمه و اهمیت
• 27. روش توانی (Power Method) برای یافتن بزرگترین مقدار ویژه
• 28. روش توانی معکوس (Inverse Power Method)
• 29. تجزیه QR و کاربرد آن در مقادیر ویژه
• 30. الگوریتم QR برای یافتن تمام مقادیر ویژه
• 31. تجزیه مقدار تکین (SVD): تئوری و پیاده‌سازی
• 32. کاربردهای SVD در فشرده‌سازی تصویر و کاهش ابعاد
• 33. مسئله کمترین مربعات (Least Squares) و کاربردها
• 34. حل مسئله کمترین مربعات با استفاده از معادلات نرمال
• 35. حل مسئله کمترین مربعات با استفاده از تجزیه QR
• 36. یافتن ریشه‌های معادلات: مقدمه و روش تنصیف (Bisection)
• 37. روش نقطه ثابت (Fixed-Point Iteration)
• 38. روش نیوتن-رافسون برای ریشه‌یابی
• 39. روش سکانت (Secant Method)
• 40. ریشه‌یابی چندجمله‌ای‌ها: روش‌های خاص
• 41. درون‌یابی: مقدمه و چندجمله‌ای لاگرانژ
• 42. چندجمله‌ای‌های درون‌یاب نیوتن
• 43. پدیده رونگه و مشکلات درون‌یابی با درجه بالا
• 44. بهینه‌سازی درون‌یابی با نقاط چبیشف
• 45. درون‌یابی اسپلاین (Spline Interpolation): اسپلاین خطی
• 46. درون‌یابی اسپلاین مکعبی
• 47. تقریب توابع: سری تیلور و کاربردهای آن
• 48. تقریب کمترین مربعات برای توابع پیوسته
• 49. چندجمله‌ای‌های متعامد: لژاندر و چبیشف
• 50. تقریب پاد (Padé Approximant)
• 51. مشتق‌گیری عددی: فرمول‌های تفاضل پیشرو، پسرو و مرکزی
• 52. تحلیل خطا در مشتق‌گیری عددی
• 53. محاسبه مشتقات مراتب بالاتر
• 54. انتگرال‌گیری عددی: قاعده مستطیلی و ذوزنقه‌ای
• 55. قاعده سیمپسون (Simpson's Rule)
• 56. قواعد نیوتن-کاتس
• 57. انتگرال‌گیری گاوسی (Gaussian Quadrature)
• 58. انتگرال‌گیری رامبرگ (Romberg Integration)
• 59. قواعد انتگرال‌گیری تطبیقی (Adaptive Quadrature)
• 60. انتگرال‌گیری از توابع با نقاط تکین (Singularities)
• 61. انتگرال‌گیری چندبعدی: روش مونت کارلو
• 62. معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE): مقدمه و مسائل مقدار اولیه
• 63. روش اویلر پیشرو و تحلیل پایداری آن
• 64. روش‌های مرتبه بالاتر: اویلر بهبودیافته (هیون) و نقطه میانی
• 65. خانواده روش‌های رونگه-کوتا (Runge-Kutta)
• 66. روش کلاسیک رونگه-کوتای مرتبه چهار (RK4)
• 67. مسائل سفت (Stiff Problems) و روش اویلر پسرو
• 68. روش‌های چندمرحله‌ای: آدامز-بشفورث
• 69. روش‌های پیشگو-اصلاحگر (Predictor-Corrector): آدامز-مولتون
• 70. کنترل گام و انتگرال‌گیری تطبیقی برای ODEها
• 71. مسائل مقدار مرزی (BVP) برای ODEها
• 72. روش تیراندازی (Shooting Method) برای حل BVP
• 73. روش تفاضل محدود (Finite Difference Method) برای BVP
• 74. مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE)
• 75. روش تفاضل محدود برای معادلات بیضوی (لاپلاس و پواسون)
• 76. روش تفاضل محدود برای معادلات سهموی (معادله گرما)
• 77. روش تفاضل محدود برای معادلات هذلولوی (معادله موج)
• 78. مقدمه‌ای بر بهینه‌سازی ریاضی و انواع مسائل آن
• 79. بهینه‌سازی تک‌متغیره: روش جستجوی طلایی (Golden-Section Search)
• 80. بهینه‌سازی بدون قید: روش گرادیان کاهشی (Gradient Descent)
• 81. روش نیوتن برای بهینه‌سازی چندمتغیره
• 82. روش‌های شبه‌نیوتن (Quasi-Newton): BFGS
• 83. بهینه‌سازی مقید: مقدمه‌ای بر روش‌های ضریب لاگرانژ
• 84. برنامه‌ریزی خطی و روش سیمپلکس
• 85. الگوریتم‌های بهینه‌سازی تکاملی: مقدمه‌ای بر الگوریتم ژنتیک
• 86. آمار توصیفی: میانگین، واریانس و انحراف معیار
• 87. برازش منحنی (Curve Fitting) با استفاده از کمترین مربعات
• 88. رگرسیون خطی و چندمتغیره
• 89. تحلیل مولفه اساسی (PCA) با استفاده از SVD
• 90. تولید اعداد شبه تصادفی (Pseudo-random Numbers)
• 91. روش مونت کارلو: از تخمین عدد پی تا انتگرال‌گیری
• 92. شبیه‌سازی فرآیندهای تصادفی: گام تصادفی
• 93. تبدیل فوریه گسسته (DFT) و الگوریتم آن
• 94. تبدیل فوریه سریع (FFT): الگوریتم کولی-توکی
• 95. کاربردهای FFT: تحلیل سیگنال و فیلترسازی
• 96. کانولوشن و کاربرد آن در پردازش تصویر و سیگنال
• 97. درون‌یابی داده‌های پراکنده: نزدیکترین همسایه و میانگین وزنی معکوس فاصله
• 98. محاسبه توابع خاص: تابع گاما و توابع خطا
• 99. محاسبه توابع بسل و کاربردهای آن
• 100. الگوریتم‌های هندسه محاسباتی: یافتن پوش محدب (Convex Hull)