🎓 دوره آموزشی جامع

📚 اطلاعات دوره

عنوان دوره: جعبه‌ابزار ریاضی سه‌بعدی: از پایه تا ساخت بازی و گرافیک خیره‌کننده

موضوع کلی: ریاضیات کاربردی در مهندسی و فناوری

موضوع میانی: ریاضیات سه‌بعدی برای توسعه گرافیک و بازی

📋 سرفصل‌های دوره (100 موضوع)

• 1. مقدمه‌ای بر جعبه‌ابزار ریاضی: چرا این دوره برای شماست؟
• 2. چرا ریاضیات برای بازی‌سازان و گرافیست‌ها یک ابزار ضروری است؟
• 3. نگاهی به دنیای سه‌بعدی: از مختصات تا پیکسل
• 4. آشنایی با دستگاه مختصات دکارتی: از یک بعد تا سه بعد
• 5. سیستم‌های مختصات چپ‌گرد و راست‌گرد و اهمیت آن‌ها
• 6. نقاط و بردارها: تفاوت‌های کلیدی و کاربردهای اولیه
• 7. بردارها در فضای دوبعدی: نمایش گرافیکی و جبری
• 8. عملیات پایه روی بردارها: جمع و تفریق
• 9. ضرب بردار در یک عدد اسکالر
• 10. اندازه (طول) یک بردار و مفهوم آن
• 11. نرمال‌سازی بردارها: ساخت بردارهای یکه
• 12. فاصله بین دو نقطه با استفاده از بردارها
• 13. ضرب داخلی (Dot Product): تعریف و محاسبه
• 14. تفسیر هندسی ضرب داخلی: مفهوم (Projection)
• 15. استفاده از ضرب داخلی برای یافتن زاویه بین دو بردار
• 16. کاربردهای ضرب داخلی: تشخیص جهت و نورپردازی ساده
• 17. بردارهای متعامد (Orthogonal) و آزمون آن با ضرب داخلی
• 18. بردارها در فضای سه‌بعدی: گسترش مفاهیم
• 19. ضرب خارجی (Cross Product): تعریف و محاسبه در فضای سه‌بعدی
• 20. تفسیر هندسی ضرب خارجی: یافتن بردار عمود
• 21. کاربردهای ضرب خارجی: محاسبه نرمال سطوح و جهت‌گیری
• 22. درون‌یابی خطی (Lerp) بین دو بردار
• 23. ماتریس‌ها چیستند؟ مقدمه‌ای بر آرایه‌های دوبعدی
• 24. ابعاد ماتریس و عناصر آن
• 25. جمع و تفریق ماتریس‌ها
• 26. ضرب ماتریس در یک عدد اسکالر
• 27. ضرب ماتریس در بردار: مقدمه‌ای بر تبدیلات
• 28. ضرب ماتریس در ماتریس: قانون و مفهوم
• 29. ویژگی‌های ضرب ماتریس: عدم وجود خاصیت جابجایی
• 30. ماتریس همانی (Identity Matrix): عنصر خنثی در ضرب
• 31. ترانهاده ماتریس (Transpose) و کاربردهای آن
• 32. دترمینان ماتریس و مفهوم هندسی آن
• 33. محاسبه دترمینان برای ماتریس‌های 2x2 و 3x3
• 34. ماتریس معکوس (Inverse) و شرایط وجود آن
• 35. ماتریس‌های متعامد (Orthogonal Matrices) و ویژگی‌های خاص آن‌ها
• 36. بردارهای سطری در مقابل بردارهای ستونی: کدام را انتخاب کنیم؟
• 37. تبدیلات هندسی (Geometric Transformations): مفهوم و انواع
• 38. تبدیلات خطی (Linear Transformations) چه هستند؟
• 39. تبدیلات افاین (Affine Transformations) و تفاوت آن با تبدیلات خطی
• 40. تبدیل انتقال (Translation) در فضای دوبعدی
• 41. تبدیل مقیاس (Scaling) در فضای دوبعدی
• 42. تبدیل دوران (Rotation) در فضای دوبعدی
• 43. نمایش تبدیلات دوبعدی با استفاده از ماتریس‌ها
• 44. مختصات همگن (Homogeneous Coordinates): راه‌حلی برای نمایش انتقال
• 45. ماتریس انتقال در مختصات همگن
• 46. ماتریس مقیاس در مختصات همگن
• 47. ماتریس دوران در مختصات همگن
• 48. ترکیب تبدیلات: قدرت ضرب ماتریس‌ها
• 49. اهمیت ترتیب در ترکیب تبدیلات: تفاوت Scale-Rotate و Rotate-Scale
• 50. تبدیلات در فضای سه‌بعدی: انتقال
• 51. تبدیلات در فضای سه‌بعدی: مقیاس (یکنواخت و غیریکنواخت)
• 52. دوران حول محورهای اصلی (X, Y, Z) در فضای سه‌بعدی
• 53. ترکیب تبدیلات سه‌بعدی
• 54. تبدیل نقاط در مقابل تبدیل بردارها (تفاوت در انتقال)
• 55. تبدیل بردارهای نرمال: استفاده از معکوس ترانهاده
• 56. فضاهای مختصات: از فضای مدل تا فضای جهان
• 57. چالش نمایش جهت‌گیری (Orientation) در فضای سه‌بعدی
• 58. نمایش جهت با ماتریس دوران: مزایا و معایب
• 59. زوایای اویلر (Euler Angles): Pitch, Yaw, Roll
• 60. تبدیل زوایای اویلر به ماتریس دوران
• 61. مشکل قفل گیمبال (Gimbal Lock) در زوایای اویلر
• 62. نمایش دوران با محور-زاویه (Axis-Angle)
• 63. اعداد مختلط: پیش‌نیازی برای درک کواترنیون‌ها
• 64. کواترنیون‌ها (Quaternions): معرفی و ساختار چهار جزئی
• 65. کواترنیون‌ها به عنوان ابزاری برای نمایش دوران
• 66. کواترنیون‌های یکه و اهمیت آن‌ها
• 67. ضرب کواترنیون‌ها: ترکیب دوران‌ها به روشی نوین
• 68. اعمال دوران بر یک بردار با استفاده از کواترنیون
• 69. تبدیل ماتریس دوران به کواترنیون
• 70. تبدیل کواترنیون به ماتریس دوران
• 71. درون‌یابی کروی خطی (Slerp): ایجاد انیمیشن‌های دوران نرم
• 72. مقایسه روش‌های نمایش جهت: ماتریس، اویلر و کواترنیون
• 73. هندسه محاسباتی: ساختارهای پایه‌ای
• 74. نمایش پارامتری خط و پرتو (Ray)
• 75. نمایش صفحه (Plane) با استفاده از بردار نرمال و فاصله
• 76. فاصله یک نقطه تا یک صفحه
• 77. اشکال هندسی اولیه: کره (Sphere)
• 78. اشکال هندسی اولیه: جعبه‌های مرزی محوری (AABB)
• 79. اشکال هندسی اولیه: جعبه‌های مرزی جهت‌دار (OBB)
• 80. مقدمه‌ای بر آزمون‌های برخورد (Intersection Tests)
• 81. آزمون برخورد پرتو با صفحه
• 82. آزمون برخورد پرتو با کره
• 83. آزمون برخورد پرتو با جعبه مرزی محوری (AABB)
• 84. آزمون برخورد کره با کره
• 85. آزمون برخورد کره با صفحه
• 86. مختصات باریسنتریک (Barycentric Coordinates) و کاربرد آن در مثلث‌ها
• 87. آزمون برخورد پرتو با مثلث: الگوریتم Möller–Trumbore
• 88. فضای مماس (Tangent Space) و کاربرد آن در نورپردازی
• 89. نگاهی به خط لوله رندرینگ (Graphics Pipeline)
• 90. فضای مدل (Model Space): دنیای خصوصی هر شیء
• 91. فضای جهان (World Space): صحنه کلی بازی
• 92. تبدیل از فضای مدل به فضای جهان (Model-to-World Transformation)
• 93. فضای دید (View/Camera Space): دنیا از چشم دوربین
• 94. تبدیل از فضای جهان به فضای دید (View Transformation)
• 95. دوربین Look-At: ساخت ماتریس دید به سادگی
• 96. فضای کلیپ (Clip Space) و هرم دید (View Frustum)
• 97. تبدیل پروجکشن (Projection Transformation): از سه‌بعدی به دوبعدی
• 98. پروجکشن ارتوگرافیک (Orthographic Projection)
• 99. پروجکشن پرسپکتیو (Perspective Projection)
• 100. ساخت ماتریس پروجکشن پرسپکتیو