ترجمه فارسی مقاله نفوذ در آستانه منحصر به فرد از طریق نسبی سازی زیر گروه

چکیده

We study percolation on nonamenable groups at the uniqueness threshold $p_u$, the critical value that separates the phase in which there are infinitely many infinite clusters from the phase in which there is a unique infinite cluster. The number of infinite clusters at $p_u$ itself is a subtle question, depending on the choice of group, with only a relatively small number of examples understood. In this paper, we do the following: 1. Prove non-uniqueness at $p_u$ in a new class of examples, namely those groups that contain an amenable, $wq$-normal subgroup of exponential growth. Concrete new examples to which this result applies include lamplighters over nonamenable base groups. 2. Prove a co-heredity property of a certain strong form of non-uniqueness at $p_u$, stating that this property is inherited from a $wq$-normal subgroup to the entire group. Remarkably, this co-heredity property is the same as that proven for the vanishing of the first $\ell^2$ Betti number by Peterson and Thom (Invent. Math. 2011), supporting the conjecture that the two properties are equivalent. Our proof is based on the method of subgroup relativization, and relies in particular on relativized versions of uniqueness monotonicity, the equivalence of non-uniqueness and connectivity decay, the sharpness of the phase transition, and the Burton-Keane theorem. As a further application of the relative Burton-Keane theorem, we resolve a question of Lyons and Schramm (Ann. Probab. 1999) concerning intersections of random walks with percolation clusters.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما نفوذ در گروههای غیر قابل تحمل در آستانه منحصر به فرد $ p_u $ ، مقدار بحرانی که فاز را که در آن بی نهایت بسیاری از خوشه های نامتناهی وجود دارد از فاز که در آن یک خوشه بی نهایت منحصر به فرد وجود دارد ، مطالعه می کنیم.تعداد خوشه های نامتناهی در $ p_u $ خود یک سوال ظریف است ، بسته به انتخاب گروه ، تنها تعداد نسبتاً کمی از نمونه ها درک شده است.در این مقاله ، موارد زیر را انجام می دهیم: 1. اثبات عدم عدم دسترسی به $ p_u $ در کلاس جدیدی از نمونه ها ، یعنی گروه هایی که حاوی زیر گروه $ $-normal از رشد نمایی هستند.نمونه های جدید بتونی که این نتیجه در آن اعمال می شود شامل لامپ ها در گروه های پایه غیرقابل تحمل است.2. یک خاصیت هماهنگی از یک شکل خاص از عدم عدم دسترسی به $ p_u $ را اثبات کنید ، با بیان اینکه این ملک از زیر گروه $ $ $-normal به کل گروه به ارث رسیده است.نکته قابل توجه ، این خاصیت هماهنگی همان چیزی است که برای ناپدید شدن اولین شماره $ \ ell^2 $ betti توسط پترسون و Thom اثبات شده است (اختراع. ریاضی 2011) ، از این حدس که این دو خاصیت معادل هستند.اثبات ما مبتنی بر روش نسبیت زیر گروه است ، و به ویژه به نسخه های نسبی از یکنواختی منحصر به فرد ، هم ارزی پوسیدگی غیر یکنواختی و اتصال ، وضوح انتقال فاز و قضیه برتون-کین متکی است.به عنوان یک کاربرد بیشتر از قضیه نسبی بارتون-کین ، ما یک سؤال از لیون و شرام (آن. Probab. 1999) را در مورد تقاطع های پیاده روی های تصادفی با خوشه های نفوذی حل می کنیم.