ترجمه فارسی مقاله ادغام QMC بر اساس خودسرانه (t,m,s)-nets نرخ همگرایی بهینه را در چندین مقیاس از فضاهای عملکرد به دست می آورد

چکیده

We study the integration problem over the $s$-dimensional unit cube on four types of Banach spaces of integrands. First we consider Haar wavelet spaces, consisting of functions whose Haar wavelet coefficients exhibit a certain decay behavior measured by a parameter $α>0$. We study the worst case error of integration over the norm unit ball and provide upper error bounds for quasi-Monte Carlo (QMC) cubature rules based on arbitrary $(t,m,s)$-nets as well as matching lower error bounds for arbitrary cubature rules. These results show that using arbitrary $(t,m,s)$-nets as sample points yields the best possible rate of convergence. Afterwards we study spaces of integrands of fractional smoothness $α\in (0,1)$ and state a sharp Koksma-Hlawka-type inequality. More precisely, we show that on those spaces the worst case error of integration is equal to the corresponding fractional discrepancy. Those spaces can be continuously embedded into tensor product Bessel potential spaces, also known as Sobolev spaces of dominated mixed smoothness, with the same set of parameters. The latter spaces can be embedded into suitable Besov spaces of dominating mixed smoothness $α$, which in turn can be embedded into the Haar wavelet spaces with the same set of parameters. Therefore our upper error bounds on Haar wavelet spaces for QMC cubatures based on $(t,m,s)$-nets transfer (with possibly different constants) to the corresponding spaces of integrands of fractional smoothness and to Sobolev and Besov spaces of dominating mixed smoothness. Moreover, known lower error bounds for periodic Sobolev and Besov spaces of dominating mixed smoothness show that QMC integration based on arbitrary $(t,m,s)$-nets yields the best possible convergence rate on periodic as well as on non-periodic Sobolev and Besov spaces of dominating smoothness.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما مشکل ادغام را بیش از مکعب واحد بعدی $ S $ در چهار نوع فضای Banach Integrands بررسی می کنیم.ابتدا فضاهای موجک HAAR را در نظر می گیریم ، متشکل از کارکردهایی که ضرایب موجک HAAR آنها یک رفتار پوسیدگی خاصی را نشان می دهد که توسط یک پارامتر $ α> 0 $ اندازه گیری می شود.ما بدترین حالت خطای ادغام را بر روی توپ واحد هنجار مطالعه می کنیم و مرزهای خطای بالایی را برای قوانین مکعب شبه مونته کارلو (QMC) بر اساس دلخواه $ (t ، m ، s) $ و همچنین تطبیق مرزهای خطای پایین تر برای ارائه می دهیم.قوانین مکعب دلخواه.این نتایج نشان می دهد که استفاده از دلخواه $ (t ، m ، s) $-به عنوان امتیاز نمونه بهترین نرخ ممکن همگرایی را به همراه دارد.پس از آن ، ما فضاهای انتگرال از صافی کسری $ α \ در (0،1) $ را مطالعه می کنیم و نابرابری تیز Koksma-Hlawka را بیان می کنیم.به طور دقیق تر ، ما نشان می دهیم که در آن فضاها بدترین خطای یکپارچه سازی برابر با اختلاف کسری مربوطه است.این فضاها می توانند به طور مداوم در فضاهای بالقوه Bessel محصول Tensor تعبیه شوند ، همچنین به عنوان فضاهای Sobolev از صافی مخلوط تحت سلطه ، با همان مجموعه پارامترها شناخته می شوند.فضاهای دوم را می توان در فضاهای مناسب BESOV از صافی مخلوط $ α $ تعبیه کرد ، که به نوبه خود می تواند با همان مجموعه پارامترها در فضاهای موجک Haar تعبیه شود.بنابراین خطای فوقانی ما در فضاهای موجک HAAR برای مکعب های QMC بر اساس انتقال $ (t ، m ، s) $-انتقال (با ثابت های احتمالاً متفاوت) به فضاهای مربوط به انتگراندها از صافی کسری و به Sobolev و Besov Space of Dominating Mixedصافیعلاوه بر این ، مرزهای خطای پایین شناخته شده برای فضاهای دوره ای Sobolev و BESOV از صافی مخلوط نشان می دهد که ادغام QMC بر اساس دلخواه $ (t ، m ، s) $-شبکه بهترین نرخ همگرایی ممکن را در دوره ای و همچنین در Sobolev غیر پریودیک به دست می آورد.و فضاهای BESOV از صافی غالب.