ترجمه فارسی مقاله شبکه های عصبی فردولم

چکیده

Within the family of explainable machine-learning, we present Fredholm neural networks (Fredholm NNs), deep neural networks (DNNs) which replicate fixed point iterations for the solution of linear and nonlinear Fredholm Integral Equations (FIE) of the second kind. Applications of FIEs include the solution of ordinary, as well as partial differential equations (ODEs, PDEs) and many more. We first prove that Fredholm NNs provide accurate solutions. We then provide insight into the values of the hyperparameters and trainable/explainable weights and biases of the DNN, by directly connecting their values to the underlying mathematical theory. For our illustrations, we use Fredholm NNs to solve both linear and nonlinear problems, including elliptic PDEs and boundary value problems. We show that the proposed scheme achieves significant numerical approximation accuracy across both the domain and boundary. The proposed methodology provides insight into the connection between neural networks and classical numerical methods, and we posit that it can have applications in fields such as Uncertainty Quantification (UQ) and explainable artificial intelligence (XAI). Thus, we believe that it will trigger further advances in the intersection between scientific machine learning and numerical analysis.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در داخل خانواده یادگیری ماشین قابل توضیح ، ما شبکه های عصبی Fredholm (Fredholm NNS) ، شبکه های عصبی عمیق (DNN) را ارائه می دهیم که تکرارهای نقطه ثابت را برای حل معادلات انتگرال خطی و غیرخطی فردولم (FIE) از نوع دوم تکرار می کنند.برنامه های کاربردی FIE شامل حل معادلات معمولی و همچنین دیفرانسیل جزئی (ODE ، PDE) و موارد دیگر است.ما ابتدا ثابت می کنیم که NNS Fredholm راه حل های دقیقی را ارائه می دهد.سپس با اتصال مستقیم مقادیر آنها به نظریه ریاضی اساسی ، ما بینش در مورد مقادیر هایپرپارامترها و وزن های قابل آموزش/قابل توضیح و تعصب DNN را ارائه می دهیم.برای تصاویر ما ، ما از NNS Fredholm برای حل مشکلات خطی و غیرخطی ، از جمله PDE های بیضوی و مشکلات ارزش مرزی استفاده می کنیم.ما نشان می دهیم که طرح پیشنهادی به دقت تقریب عددی قابل توجهی در هر دو دامنه و مرز دست می یابد.روش پیشنهادی بینشی در مورد ارتباط بین شبکه های عصبی و روشهای عددی کلاسیک ارائه می دهد ، و ما اظهار داریم که می تواند در زمینه هایی مانند کمیت عدم اطمینان (UQ) و هوش مصنوعی قابل توضیح (XAI) کاربردی داشته باشد.بنابراین ، ما معتقدیم که این امر باعث پیشرفت بیشتر در تقاطع بین یادگیری ماشین علمی و تجزیه و تحلیل عددی خواهد شد.