مقاله [1،2] – تسلط در گراف های فاصله و دایره

چکیده

A subset $S$ of vertices in a graph $G=(V, E)$ is Dominating Set if each vertex in $V(G)\setminus S$ is adjacent to at least one vertex in $S$. Chellali et al. in 2013, by restricting the number of neighbors in $S$ of a vertex outside $S$, introduced the concept of $[1,j]$-dominating set. A set $D \subseteq V$ of a graph $G = (V, E)$ is called $[1,j]$-Dominating Set of $G$ if every vertex not in $D$ has at least one neighbor and at most $j$ neighbors in $D$. The Minimum $[1,j]$-Domination problem is the problem of finding the minimum set $D$. Given a positive integer $k$ and a graph $G = (V, E)$, the $[1,j]$-Domination Decision problem is to decide whether $G$ has $[1,j]$-dominating set of cardinality at most $k$. A polynomial-time algorithm was obtained in split graphs for a constant $j$ in contrast to the classic Dominating Set problem which is NP-hard in split graphs. This result motivates us to investigate the effect of restriction $j$ on the complexity of $[1,j]$-domination problem on various classes of graphs. Although for $j\geq 3$, it has been proved that the minimum of classical domination is equal to minimum $[1,j]$-domination in interval graphs, the complexity of finding the minimum $[1,2]$-domination in interval graphs is still outstanding. In this paper, we propose a polynomial-time algorithm for computing a minimum $[1,2]$ on non-proper interval graphs by a dynamic programming technique. Next, on the negative side, we show that the minimum $[1,2]$-dominating set problem on circle graphs is $NP$-complete.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

زیر مجموعه $ s $ vertices در نمودار $ g = (v ، e) $ حاکم است اگر هر راس در $ v (g) \ setminus s $ در مجاورت حداقل یک راس در $ s $ باشد.چللی و همکاران.در سال 2013 ، با محدود کردن تعداد همسایگان در $ S $ vertex در خارج از $ S $ ، مفهوم $ [1 ، j] $-حاکم را معرفی کرد.مجموعه $ d \ subseteq v $ از یک نمودار $ g = (v ، e) $ $ [1 ، j] $-مجموعه حاکم بر $ g $ نامیده می شود اگر هر راس در $ d $ حداقل یک همسایه داشته باشد وحداکثر $ J $ همسایگان در $ D $.حداقل $ [1 ، j] $-مشکل سلطه مشکل یافتن حداقل مجموعه $ d $ است.با توجه به یک عدد صحیح مثبت $ k $ و نمودار $ g = (v ، e) $ ، مشکل تصمیم گیری سلطه $ [1 ، j] $-تصمیم گیری این است که آیا $ g $ دارای $ [1 ، j] $-مجموعه حاکم براز کاردینال حداکثر $ k $.یک الگوریتم زمان چند جمله ای در نمودارهای تقسیم شده برای یک $ J $ ثابت بر خلاف مشکل مجموعه کلاسیک حاکم که NP در نمودارهای تقسیم شده NP است ، بدست آمد.این نتیجه به ما انگیزه می دهد تا تأثیر محدودیت $ J $ را بر پیچیدگی [1 ، j] $-مشکل سلطه در کلاسهای مختلف نمودارها بررسی کنیم.اگرچه برای $ j \ geq 3 $ ، ثابت شده است که حداقل سلطه کلاسیک برابر با حداقل $ [1 ، j] $-سلطه در نمودارهای بازه است ، پیچیدگی یافتن حداقل $ [1،2] $-تسلط در نمودارهای بازه هنوز برجسته است.در این مقاله ، ما یک الگوریتم چند جمله ای برای محاسبه حداقل $ [1،2] $ در نمودارهای بازه غیرانتفاعی با یک تکنیک برنامه نویسی پویا پیشنهاد می کنیم.در مرحله بعد ، از طرف منفی ، ما نشان می دهیم که حداقل [1،2] $-مشکل حاکم بر نمودارهای دایره $ np $-complete است.