مقاله هارمونیک و Wigner کروی متفاوت و شتاب قابل تغییر و شتاب

چکیده

Many areas of science and engineering encounter data defined on spherical manifolds. Modelling and analysis of spherical data often necessitates spherical harmonic transforms, at high degrees, and increasingly requires efficient computation of gradients for machine learning or other differentiable programming tasks. We develop novel algorithmic structures for accelerated and differentiable computation of generalised Fourier transforms on the sphere $\mathbb{S}^2$ and rotation group $\text{SO}(3)$, i.e. spherical harmonic and Wigner transforms, respectively. We present a recursive algorithm for the calculation of Wigner $d$-functions that is both stable to high harmonic degrees and extremely parallelisable. By tightly coupling this with separable spherical transforms, we obtain algorithms that exhibit an extremely parallelisable structure that is well-suited for the high throughput computing of modern hardware accelerators (e.g. GPUs). We also develop a hybrid automatic and manual differentiation approach so that gradients can be computed efficiently. Our algorithms are implemented within the JAX differentiable programming framework in the S2FFT software code. Numerous samplings of the sphere are supported, including equiangular and HEALPix sampling. Computational errors are at the order of machine precision for spherical samplings that admit a sampling theorem. When benchmarked against alternative C codes we observe up to a 400-fold acceleration. Furthermore, when distributing over multiple GPUs we achieve very close to optimal linear scaling with increasing number of GPUs due to the highly parallelised and balanced nature of our algorithms. Provided access to sufficiently many GPUs our transforms thus exhibit an unprecedented effective linear time complexity.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

بسیاری از حوزه های علم و مهندسی با داده های مواجه شده بر روی منیفولدهای کروی تعریف شده است.مدل سازی و تجزیه و تحلیل داده های کروی اغلب نیاز به تبدیل هارمونیک کروی ، در درجات بالا دارد و به طور فزاینده ای نیاز به محاسبه کارآمد شیب ها برای یادگیری ماشین یا سایر کارهای برنامه نویسی متفاوت دارد.ما ساختارهای الگوریتمی جدید را برای محاسبه شتاب و متفاوت از تبدیل های فوریه تعمیم یافته در کره $ Mathbb {s}^2 $ و گروه چرخش $ text {SO} (3) $ ، یعنی دگرگونی هارمونیک کروی و Wigner ایجاد می کنیم.ما یک الگوریتم بازگشتی برای محاسبه Wigner $ d $ -functions ارائه می دهیم که هم در درجه هارمونیک بالا پایدار است و هم بسیار موازی است.با اتصال محکم این مسئله با تبدیل های کروی جداگانه ، ما الگوریتم هایی را به دست می آوریم که یک ساختار بسیار موازی را نشان می دهند که برای محاسبات توان بالا شتاب دهنده های سخت افزاری مدرن (به عنوان مثال GPU) مناسب است.ما همچنین یک رویکرد تمایز اتوماتیک و دستی ترکیبی ایجاد می کنیم تا شیب ها بتوانند به طور کارآمد محاسبه شوند.الگوریتم های ما در چارچوب برنامه نویسی متفاوت JAX در کد نرم افزار S2FFT پیاده سازی می شوند.نمونه های بیشماری از کره پشتیبانی می شود ، از جمله نمونه گیری Equiangular و HealPix.خطاهای محاسباتی به ترتیب دقت دستگاه برای نمونه های کروی است که یک قضیه نمونه گیری را می پذیرند.هنگامی که در برابر کدهای C جایگزین معیار قرار می گیریم ، تا یک شتاب 400 برابر مشاهده می کنیم.علاوه بر این ، هنگام توزیع بیش از GPU های متعدد ، ما به دلیل افزایش تعداد GPU ها به دلیل ماهیت بسیار موازی و متعادل الگوریتم های خود ، به مقیاس خطی بهینه بسیار نزدیک می رسیم.دسترسی به اندازه کافی به بسیاری از GPU های ما تبدیل شده است ، بنابراین یک پیچیدگی زمان خطی مؤثر بی سابقه را نشان می دهد.