ترجمه فارسی مقاله مقدمه ای بر روی سیستم های T-با تأکید ویژه بر مشکلات لحظه ای پراکنده ، پراکنده Positivstellensätze و Nichtnegativstellensätze پراکنده

چکیده

These are the lecture notes based on [dD23] for the (upcoming) lecture “T-systems with a special emphasis on sparse moment problems and sparse Positivstellensätze” in the summer semester 2024 at the University of Konstanz. The main purpose of this lecture is to prove the sparse Positiv- and Nichtnegativstellensätze of Samuel Karlin (1963) and to apply them to the algebraic setting. That means given finitely many monomials, e.g. $1, x^2, x^3, x^6, x^7, x^9,$ how do all linear combinations of these look like which are strictly positive or non-negative on some interval $[a,b]$ or $[0,\infty)$, e.g. describe and even write down all $f(x) = a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^3 + a_3 x^6 + a_4 x^7 + a_5 x^9$ with $f(x)>0$ or $f(x)\geq 0$ on $[a,b]$ or $[0,\infty)$, respectively. To do this we introduce the theoretical framework in which this question can be answered: T-systems. We study these T-systems to arrive at Karlin’s Positiv- and Nichtnegativstellensatz but we also do not hide the limitations of the T-systems approach. The main limitation is the Curtis$-$Mairhuber$-$Sieklucki Theorem which essentially states that every T-system is only one-dimensional and hence we can only apply these results to the univariate polynomial case. This can also be understood as a lesson or even a warning that this approach has been investigated and found to fail, i.e., learning about these results and limitations shall save students and researchers from following old footpaths which lead to a dead end. We took great care finding the correct historical references where the results appeared first but are perfectly aware that like people before we not always succeed.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

این یادداشت های سخنرانی بر اساس [DD23] برای سخنرانی (آینده) “T-Systems با تأکید ویژه بر مشکلات لحظه ای پراکنده و پراکنده Positivstellensätze” در ترم تابستان 2024 در دانشگاه کونستانز است.هدف اصلی این سخنرانی اثبات پراکنده Positiv- و Nichtnegativstellensätze ساموئل کارلین (1963) و استفاده از آنها در محیط جبری است.این بدان معناست که به طور دقیق بسیاری از مونوم ها ، به عنوان مثال$ 1 ، x^2 ، x^3 ، x^6 ، x^7 ، x^9 ، $ چگونه همه ترکیبات خطی این موارد مانند برخی از بازه های $ [a ، b] $ کاملاً مثبت یا غیر منفی هستندیا $ [0 ، \ infty) $ ، به عنوان مثالهمه $ f (x) = a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^3 + a_3 x^6 + a_4 x^7 + a_5 x^9 $ با $ f (x)> 0 $ یا $ را بنویسید و حتی بنویسید.f (x) \ geq 0 $ در $ [a ، b] $ یا $ [0 ، \ infty) $.برای انجام این کار ، ما چارچوب نظری را معرفی می کنیم که در آن می توان به این سؤال پاسخ داد: سیستم های T.ما این سیستم های T را برای رسیدن به Positiv- و Nichtnegativstellensatz کارلین مطالعه می کنیم اما محدودیت های رویکرد T-Systems را نیز پنهان نمی کنیم.محدودیت اصلی Curtis $-$ mairhuber $-$ sieklucki $ است که اساساً بیان می کند که هر سیستم T فقط یک بعدی است و از این رو فقط می توانیم این نتایج را در مورد چند جمله ای یک متغیره اعمال کنیم.این همچنین می تواند به عنوان یک درس یا حتی یک هشدار درک شود که این رویکرد مورد بررسی قرار گرفته است و به شکست رسیده است ، یعنی یادگیری در مورد این نتایج و محدودیت ها باعث می شود دانش آموزان و محققان از پیگیری های قدیمی که منجر به بن بست می شود ، نجات دهد.ما با یافتن منابع صحیح تاریخی که در آن نتایج در ابتدا ظاهر می شود ، بسیار مراقب بودیم اما کاملاً آگاه هستیم که مانند مردم قبل از اینکه همیشه موفق نشویم.