ترجمه فارسی مقاله تحلیل چرخه ای فرآیند اورنشتاین-اولنبک

چکیده

In this thesis, we consider an $N$-dimensional Ornstein-Uhlenbeck (OU) process satisfying the linear stochastic differential equation $d\mathbf x(t) = – \mathbf B\mathbf x(t) dt + \boldsymbol Σd \mathbf w(t).$ Here, $\mathbf B$ is a fixed $N \times N$ circulant friction matrix whose eigenvalues have positive real parts, $\boldsymbol Σ$ is a fixed $N \times M$ matrix. We consider a signal propagation model governed by this OU process. In this model, an underlying signal propagates throughout a network consisting of $N$ linked sensors located in space. We interpret the $n$-th component of the OU process as the measurement of the propagating effect made by the $n$-th sensor. The matrix $\mathbf B$ represents the sensor network structure: if $\mathbf B$ has first row $(b_1 \ , \ \dots \ , \ b_N),$ where $b_1>0$ and $b_2 \ , \ \dots \ ,\ b_N \le 0,$ then the magnitude of $b_p$ quantifies how receptive the $n$-th sensor is to activity within the $(n+p-1)$-th sensor. Finally, the $(m,n)$-th entry of the matrix $\mathbf D = \frac{\boldsymbol Σ\boldsymbol Σ^\text T}{2}$ is the covariance of the component noises injected into the $m$-th and $n$-th sensors. For different choices of $\mathbf B$ and $\boldsymbol Σ,$ we investigate whether Cyclicity Analysis enables us to recover the structure of network. Roughly speaking, Cyclicity Analysis studies the lead-lag dynamics pertaining to the components of a multivariate signal. We specifically consider an $N \times N$ skew-symmetric matrix $\mathbf Q,$ known as the lead matrix, in which the sign of its $(m,n)$-th entry captures the lead-lag relationship between the $m$-th and $n$-th component OU processes. We investigate whether the structure of the leading eigenvector of $\mathbf Q,$ the eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of $\mathbf Q$ in modulus, reflects the network structure induced by $\mathbf B.$

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در این پایان نامه ، ما یک فرآیند $ n $ $ ornstein-uhlenbeck (ou) را در نظر می گیریم که معادله دیفرانسیل تصادفی خطی $ d \ mathbf x (t) =-\ mathbf b \ mathbf x (t) dt + \ boldsymbol σd σd \ \ را در نظر می گیریم.Mathbf W (t). $ در اینجا ، $ \ Mathbf B $ یک ماتریس اصطکاک گردش مالی $ n \ times n $ است که دارای مقادیر واقعی دارای قطعات واقعی مثبت است ، $ \ boldsymbol σ $ یک ماتریس $ n \ times m $ است.ما یک مدل انتشار سیگنال را که توسط این فرآیند OU اداره می شود ، در نظر می گیریم.در این مدل ، یک سیگنال زیرین در سراسر شبکه متشکل از سنسورهای مرتبط با $ N $ واقع در فضا پخش می شود.ما مؤلفه $ n $ -th فرآیند OU را به عنوان اندازه گیری اثر تبلیغاتی که توسط سنسور $ $ $ ساخته شده است ، تفسیر می کنیم.ماتریس $ \ Mathbf B $ نشان دهنده ساختار شبکه سنسور است: اگر $ \ Mathbf B $ دارای ردیف اول (b_1 \ ، \ \ dots \ ، \ b_n) باشد ، $ که $ b_1> 0 $ و $ b_2 \ ، \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \.نقاط \ ، \ b_n \ le 0 ، $ و سپس بزرگی $ b_p $ تعیین می کند که سنسور $ n $ چقدر پذیرفته می شود تا در سنسور $ (n+p-1) $ فعالیت کند.سرانجام ، $ (m ، n) $-ورود به ماتریس $ \ mathbf d = \ frac {\ boldsymbol σ \ boldsymbol σ^\ text t} {2} $ کواریانس نابغه های مؤلفه است که به $ تزریق می شودسنسورهای M $ -th و $ n $.برای انتخاب های مختلف $ \ Mathbf b $ و $ \ boldsymbol σ ، $ بررسی می کنیم که آیا تجزیه و تحلیل چرخه ما را قادر می سازد تا ساختار شبکه را بازیابی کنیم.تقریباً صحبت می کند ، تجزیه و تحلیل چرخه ، پویایی سرب-LAG مربوط به مؤلفه های یک سیگنال چند متغیره را مطالعه می کند.ما به طور خاص یک ماتریس $ n \ times n $ $ skew-mymetric $ \ mathbf q را در نظر می گیریم ، $ به عنوان ماتریس سرب شناخته می شود ، که در آن نشانه ورود $ (m ، n) $-رابطه سرب را بین این امر ضبط می کند$ m $ -th و $ n $ -th فرآیندهای OU.ما بررسی می کنیم که آیا ساختار eigenvector پیشرو از $ \ Mathbf q ، $ eigenvector مربوط به بزرگترین مقادیر ویژه $ \ Mathbf q $ در مدول ، منعکس کننده ساختار شبکه ناشی از $ \ Mathbf B. $ است.