ترجمه فارسی مقاله شرط لازم و کافی برای CLT آمار طیفی خطی ماتریس همبستگی نمونه

چکیده

In this paper, we establish the central limit theorem (CLT) for the linear spectral statistics (LSS) of sample correlation matrix $R$, constructed from a $p\times n$ data matrix $X$ with independent and identically distributed (i.i.d.) entries having mean zero, variance one, and infinite fourth moments in the high-dimensional regime $n/p\rightarrow φ\in \mathbb{R}_+\backslash \{1\}$. We derive a necessary and sufficient condition for the CLT. More precisely, under the assumption that the identical distribution $ξ$ of the entries in $X$ satisfies $\mathbb{P}(|ξ|>x)\sim l(x)x^{-α}$ when $x\rightarrow \infty$ for $α\in (2,4]$, where $l(x)$ is a slowly varying function, we conclude that: (i). When $α\in(3,4]$, the universal asymptotic normality for the LSS of sample correlation matrix holds, with the same asymptotic mean and variance as in the finite fourth moment scenario; (ii) We identify a necessary and sufficient condition $\lim_{x\rightarrow\infty}x^3\mathbb{P}(|ξ|>x)=0$ for the universal CLT; (iii) We establish a local law for $α\in (2, 4]$. Overall, our proof strategy follows the routine of the matrix resampling, intermediate local law, Green function comparison, and characteristic function estimation. In various parts of the proof, we are required to come up with new approaches and ideas to solve the challenges posed by the special structure of sample correlation matrix. Our results also demonstrate that the symmetry condition is unnecessary for the CLT of LSS for sample correlation matrix, but the tail index $α$ plays a crucial role in determining the asymptotic behaviors of LSS for $α\in (2, 3)$.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

در این مقاله ، ما قضیه محدودیت مرکزی (CLT) را برای آمار طیفی خطی (LSS) ماتریس همبستگی نمونه $ r $ ، ساخته شده از یک ماتریس داده $ p \ times n $ $ x $ با مستقل و یکسان توزیع می کنیم (i.i.d.) ورودی هایی که دارای میانگین صفر ، واریانس یک و لحظه های چهارم بی نهایت در رژیم بالا $ n/p \ راست φ \ in \ mathbb {r} _+\ backslash \ {1 \} $ هستند.ما یک شرط لازم و کافی برای CLT به دست می آوریم.به طور دقیق تر ، با این فرض که توزیع یکسان $ ξ $ از ورودی های $ x $ $ \ Mathbb {p} (| ξ |> x) \ sim l (x) x^{-α} $ $ x را برآورده می کند.\ Rightarrow \ infty $ برای $ α \ in (2،4] $ ، جایی که $ l (x) $ یک تابع به آرامی متفاوت است ، نتیجه می گیریم که: (i) وقتی $ α \ in (3،4] $ ،نرمال بودن بدون علامت جهانی برای LSS ماتریس همبستگی نمونه ، با همان میانگین و واریانس یکسان مانند سناریوی لحظه چهارم ؛3 \ Mathbb {P} (| ξ |> x) = 0 $ برای CLT جهانی ؛بازگرداندن ماتریس ، قانون محلی متوسط ​​، مقایسه عملکرد سبز و برآورد عملکرد مشخصه ، ما باید رویکردهای و ایده های جدیدی را برای حل چالش های ایجاد شده توسط ساختار خاص ماتریس همبستگی نمونه ارائه دهیم.نتایج همچنین نشان می دهد که شرایط تقارن برای CLT LSS برای ماتریس همبستگی نمونه ضروری نیست ، اما شاخص دم $ α $ نقش مهمی در تعیین رفتارهای بدون علامت LSS برای α α \ در (2 ، 3) $ دارد.