ترجمه فارسی مقاله مجموع دوجمله ای از نوع منیمنه شامل اعداد هارمونیک

چکیده

Recently, Mneimneh proved the remarkable identity \begin{align*} \sum_{k=0}^n H_k\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{i=1}^n \frac{1-(1-p)^i}{i}\quad (p\in [0,1]) \end{align*} as the main result of a 2023 \emph{Discrete Mathematics} paper, where $H_k:=\sum\nolimits_{i=1}^k 1/i$ is the classical $k$-th harmonic number. Thereafter, Campbell provided several other proofs of Mneimneh’s formula as above in a note published in \emph{Discrete Mathematics} in 2023. Moreover, Campbell also considered how Mneimneh’s identity may be proved and generalized using the \emph{Mathematica package Sigma}. In particular, he found the generalized Mneimneh’s identity \begin{align*} \sum_{k=0}^n x^k y^{n-k} \binom{n}{k}H_k =(x+y)^n \left(H_n-\sum_{i=1}^n \frac{y^i (x+y)^{-i}}{i}\right). \end{align*} In this paper, we will prove a more generalization of Mneimneh’s identity involving Bell numbers and some Mneimneh-type identities involving (alternating) harmonic numbers by using a few results of our previous papers.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

به تازگی ، mneimneh هویت قابل توجه را ثابت کرده است \ start {align*} \ sum_ {k = 0}^n h_k \ binom {n {k} p^k (1-p)^{n-k} = \ sum_ {i = 1}^n \ frac {1- (1-p)^i} {i} \ quad (p \ in [0،1]) \ end {align*} به عنوان نتیجه اصلی یک ریاضیات 2023 \ تأکید {{ریاضیات}مقاله ، جایی که $ h_k: = \ sum \ nolimits_ {i = 1}^k 1/i $ کلاسیک $ k $ -th است.پس از آن ، کمپبل چندین اثبات دیگر از فرمول Mneimneh را ارائه داد ، همانطور که در بالا در یادداشت منتشر شده در ریاضیات \ itm {ریاضیات گسسته} در سال 2023. علاوه بر این ، کمپبل همچنین در نظر گرفت که چگونه می توان هویت Mneimneh را با استفاده از بسته \ amp {ریاضی Sigma} اثبات و تعمیم داد.به طور خاص ، او هویت عمومی mneimneh را پیدا کرد \ start {align*} \ sum_ {k = 0}^n x^k y^{n-k} \ binom {n} {k} h_k = (x+y)^n \ چپ (چپ (چپ)h_n- \ sum_ {i = 1}^n \ frac {y^i (x+y)^{-i}} {i} \ درست).\ end {align*} در این مقاله ، ما تعمیم بیشتری از هویت mneimneh را شامل می شود که شامل شماره های زنگ و برخی از هویت های نوع mneimneh است که شامل شماره هارمونیک (متناوب) با استفاده از چند نتیجه از مقالات قبلی ما است.