ترجمه فارسی مقاله اندازه‌گیری‌های حداقل همتوپیکی برای جریان‌های ژئودزیکی روی سطوح جنس بالاتر

چکیده

We study the homotopical minimal measures for positive definite autonomous Lagrangian systems. Homotopical minimal measures are action-minimizers in their homotopy classes, while the classical minimal measures (Mather measures) are action-minimizers in homology classes. Homotopical minimal measures are much more general, they are not necessarily homological action-minimizers. However, some of them can be obtained from the classical ones by lifting them to finite-fold covering spaces. We apply this idea of finite covering to the geodesic flows on surfaces of higher genus. Let $(M,G)$ be a compact closed surface with genus $g>1$, where $G$ is a complete Riemannian metric on $M$. Consider the positive definite autonomous Lagrangian $L(x,v)=G_x(v,v)$, whose Lagrangian system $φ_t: TM\rightarrow TM$ is exactly the complete geodesic flow on $TM$. We show that for each homotopical minimal ergodic measure $μ$ that is supported on a nontrivial simple closed periodic trajectory, there is a finite-fold covering space $M’$ such that each ergodic preimage of $μ$ on $TM’$ is a minimal measure in the classic Mather theory for the Lagrangian system on $TM’$.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

ما اقدامات حداقل هموتوپی را برای سیستم های لاگرانژی مستقل قطعی مثبت بررسی می کنیم.اقدامات حداقل هموتوپی در کلاسهای هموتوپی خود ، ماینیزایزر عمل است ، در حالی که اقدامات حداقل کلاسیک (اقدامات mather) در کلاس های همولوژیک ، از نظر عملیات هستند.اقدامات حداقل هموتوپی بسیار کلی تر است ، آنها لزوماً از نظر عمل همکسی هستند.با این حال ، برخی از آنها را می توان با بلند کردن آنها برای داشتن فضای محدود ، از کلاسیک بدست آورد.ما این ایده از پوشش محدود را به جریان های ژئودزیک روی سطوح جنس بالاتر اعمال می کنیم.بگذارید $ (m ، g) $ یک سطح بسته جمع و جور با جنس $ g> 1 $ باشد ، که در آن $ g $ یک معیار کامل ریمانی در $ m $ است.Lagrangian $ L (x ، v) = g_x (v ، v) $ را مشخص کنید ، که سیستم lagrangian $ φ_t: tm \ Rightarrow tm $ دقیقاً جریان ژئودزیک کامل در $ tm $ است.ما نشان می دهیم که برای هر اندازه گیری حداقل ergodic هموتوپی $ μ $ $ که در یک مسیر دوره ای بسته ساده و غیرمستقیم پشتیبانی می شود ، یک فضای محدود با پوشش محدود $ m ‘$ وجود دارد به گونه ای که هر پیش نمایش ارگوودیک $ $ $ $ tm’ $ $ است.یک اندازه گیری حداقل در تئوری کلاسیک Mather برای سیستم Lagrangian در TM $ $.