مقاله تفکیک ویژگی های طیفی هاج لاپلاسین: همه مقادیر ویژه کوچک برابر نیستند.

چکیده

The rich spectral information of the graph Laplacian has been instrumental in graph theory, machine learning, and graph signal processing for applications such as graph classification, clustering, or eigenmode analysis. Recently, the Hodge Laplacian has come into focus as a generalisation of the ordinary Laplacian for higher-order graph models such as simplicial and cellular complexes. Akin to the traditional analysis of graph Laplacians, many authors analyse the smallest eigenvalues of the Hodge Laplacian, which are connected to important topological properties such as homology. However, small eigenvalues of the Hodge Laplacian can carry different information depending on whether they are related to curl or gradient eigenmodes, and thus may not be comparable. We therefore introduce the notion of persistent eigenvector similarity and provide a method to track individual harmonic, curl, and gradient eigenvectors/-values through the so-called persistence filtration, leveraging the full information contained in the Hodge-Laplacian spectrum across all possible scales of a point cloud. Finally, we use our insights (a) to introduce a novel form of topological spectral clustering and (b) to classify edges and higher-order simplices based on their relationship to the smallest harmonic, curl, and gradient eigenvectors.

چکیده به فارسی (ترجمه ماشینی)

اطلاعات طیفی غنی از گراف لاپلاسی در تئوری نمودار ، یادگیری ماشین و پردازش سیگنال نمودار برای برنامه هایی مانند طبقه بندی نمودار ، خوشه بندی یا تجزیه و تحلیل Eigenmode نقش مهمی داشته است.به تازگی ، هاج لاپلاسی به عنوان تعمیم لاپلاسی معمولی برای مدل های نمودار مرتبه بالاتر مانند مجتمع های ساده و سلولی مورد توجه قرار گرفته است.شبیه به تجزیه و تحلیل سنتی گرافیک لاپلاسی ها ، بسیاری از نویسندگان ، کوچکترین مقادیر ویژه هاج لاپلاسی را که به خصوصیات مهم توپولوژیکی مانند همسانی متصل هستند ، تجزیه و تحلیل می کنند.با این حال ، مقادیر ویژه ای از هاج لاپلاسی می توانند بسته به اینکه مربوط به آنها مربوط به مجاری مجاری یا شیب شیب باشد ، اطلاعات متفاوتی را حمل می کند ، و بنابراین ممکن است قابل مقایسه نباشد.بنابراین ما مفهوم شباهت پایدار eigenveector را معرفی می کنیم و روشی را برای ردیابی هارمونیک ، فرفری و شیب ویژه/ارزش ها از طریق تصفیه به اصطلاح پایداری ارائه می دهیم ، و اطلاعات کامل موجود در طیف هاج-لاپلاسی را در تمام مقیاسهای ممکن اعمال می کنیمیک ابر نقطهسرانجام ، ما از بینش (A) خود برای معرفی یک شکل جدید از خوشه بندی طیفی توپولوژیکی و (ب) برای طبقه بندی لبه ها و سادگی های مرتبه بالاتر بر اساس رابطه آنها با کوچکترین هارمونیک ، فرفری و ویژه های ویژه استفاده می کنیم.