حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره و سری‌ها: فرم قطبی اعداد مختلط - کوییز

1. $sqrt{2} (cos(5\pi/4) + i sin(5\pi/4))$
2. $sqrt{2} (cos(\pi/4) + i sin(\pi/4))$
3. $2 (cos(5\pi/4) + i sin(5\pi/4))$
4. $2 (cos(\pi/4) + i sin(\pi/4))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: برای تبدیل عدد مختلط $z = x + iy$ به فرم قطبی $r(cos( heta) + i sin( heta))$، ابتدا اندازه $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ و سپس زاویه $ heta$ را محاسبه می کنیم. در اینجا $x = -1$ و $y = -1$ است. بنابراین $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. زاویه $ heta$ در ربع سوم قرار دارد، پس $ heta = \arctan(y/x) + \pi = \arctan(1) + \pi = \pi/4 + \pi = 5\pi/4$. بنابراین فرم قطبی $sqrt{2} (cos(5\pi/4) + i sin(5\pi/4))$ است.

1. $9(cos(\pi/3) + i sin(\pi/3))$
2. $9(cos(\pi/12) + i sin(\pi/12))$
3. $3(cos(\pi/3) + i sin(\pi/3))$
4. $3(cos(\pi/12) + i sin(\pi/12))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: طبق قضیه دموآور، اگر $z = r(cos( heta) + i sin( heta))$ باشد، آنگاه $z^n = r^n(cos(n heta) + i sin(n heta))$. در این سوال $r=3$، $ heta=\pi/6$ و $n=2$. پس $z^2 = 3^2(cos(2 imes \pi/6) + i sin(2 imes \pi/6)) = 9(cos(\pi/3) + i sin(\pi/3))$.

1. $1, cos(2\pi/3) + i sin(2\pi/3), cos(4\pi/3) + i sin(4\pi/3)$
2. $1, cos(\pi/3) + i sin(\pi/3), cos(2\pi/3) + i sin(2\pi/3)$
3. $1, cos(\pi/2) + i sin(\pi/2), cos(\pi) + i sin(\pi)$
4. $1, cos(\pi/4) + i sin(\pi/4), cos(3\pi/4) + i sin(3\pi/4)$

گزینه صحیح: 1

توضیح: عدد 1 را می توان به فرم قطبی $1(cos(0) + i sin(0))$ نوشت. ریشه های n-ام یک عدد مختلط $z = r(cos( heta) + i sin( heta))$ توسط فرمول $ \sqrt[n]{r} (cos(rac{ heta + 2k\pi}{n}) + i sin(rac{ heta + 2k\pi}{n})) $ برای $k = 0, 1, ..., n-1$ بدست می آیند. برای $z=1$ و $n=3$ داریم $r=1$ و $ heta=0$. پس ریشه ها عبارتند از: $k=0: 1(cos(0/3) + i sin(0/3)) = 1$. $k=1: 1(cos(2\pi/3) + i sin(2\pi/3))$. $k=2: 1(cos(4\pi/3) + i sin(4\pi/3))$.

1. $6(cos(3\pi/4) + i sin(3\pi/4))$
2. $6(cos(\pi/8) + i sin(\pi/8))$
3. $5(cos(3\pi/4) + i sin(3\pi/4))$
4. $5(cos(\pi/8) + i sin(\pi/8))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: حاصل ضرب دو عدد مختلط در فرم قطبی با ضرب اندازه ها و جمع زوایای آن ها بدست می آید. $z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos( heta_1 + heta_2) + i sin( heta_1 + heta_2))$. در اینجا $r_1=2$, $ heta_1=\pi/4$ و $r_2=3$, $ heta_2=\pi/2$. پس $z_1 z_2 = (2 imes 3) (cos(\pi/4 + \pi/2) + i sin(\pi/4 + \pi/2)) = 6(cos(3\pi/4) + i sin(3\pi/4))$.

1. $2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6))$
2. $2(cos(\pi/2) + i sin(\pi/2))$
3. $2(cos(\pi/9) + i sin(\pi/9))$
4. $2(cos(\pi/18) + i sin(\pi/18))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: حاصل تقسیم دو عدد مختلط در فرم قطبی با تقسیم اندازه ها و تفریق زوایای آن ها بدست می آید. $rac{z_1}{z_2} = rac{r_1}{r_2} (cos( heta_1 - heta_2) + i sin( heta_1 - heta_2))$. در اینجا $r_1=4$, $ heta_1=\pi/3$ و $r_2=2$, $ heta_2=\pi/6$. پس $rac{z_1}{z_2} = rac{4}{2} (cos(\pi/3 - \pi/6) + i sin(\pi/3 - \pi/6)) = 2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6))$.

1. $2(cos(\pi/3) + i sin(\pi/3))$
2. $2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6))$
3. $4(cos(\pi/3) + i sin(\pi/3))$
4. $4(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: برای $z = 1 + i\sqrt{3}$، اندازه $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. زاویه $ heta = \arctan(\sqrt{3}/1) = \pi/3$. بنابراین فرم قطبی $2(cos(\pi/3) + i sin(\pi/3))$ است.

1. $1(cos(3\pi/2) + i sin(3\pi/2))$
2. $1(cos(\pi/2) + i sin(\pi/2))$
3. $1(cos(0) + i sin(0))$
4. $1(cos(\pi) + i sin(\pi))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: عدد مختلط $z = -i$ را می توان به صورت $0 - 1i$ نوشت. اندازه $r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$. این عدد روی محور منفی موهومی قرار دارد، بنابراین زاویه $ heta = 3\pi/2$ (یا $-\pi/2$). پس فرم قطبی $1(cos(3\pi/2) + i sin(3\pi/2))$ است.

1. $rac{1}{r}(cos(- heta) + i sin(- heta))$
2. $r(cos(- heta) + i sin(- heta))$
3. $rac{1}{r}(cos( heta) + i sin( heta))$
4. $r(cos( heta) + i sin( heta))$

گزینه صحیح: 1

توضیح: برای محاسبه $1/z$، می توانیم از قاعده تقسیم استفاده کنیم، جایی که $z_1 = 1$ (که فرم قطبی آن $1(cos(0) + i sin(0))$ است) و $z_2 = z$. بنابراین $rac{1}{z} = rac{1}{r} (cos(0 - heta) + i sin(0 - heta)) = rac{1}{r}(cos(- heta) + i sin(- heta))$. هم چنین می توان از این واقعیت استفاده کرد که $cos(- heta) = cos( heta)$ و $sin(- heta) = -sin( heta)$، بنابراین $1/z = rac{1}{r}(cos( heta) - i sin( heta))$.

1. هر عدد مختلط غیر صفر دارای نمایش منحصر به فرد فرم قطبی با زاویه اصلی (principal argument) است.
2. زاویه $ heta$ در فرم قطبی همیشه بین $0$ و $2\pi$ است.
3. اندازه $r$ می تواند مقداری منفی داشته باشد.
4. فقط اعداد حقیقی مثبت را می توان به فرم قطبی نوشت.

گزینه صحیح: 1

توضیح: هر عدد مختلط غیر صفر را می توان به صورت $z = r(cos( heta) + i sin( heta))$ نوشت که در آن $r > 0$ و $ heta$ یک زاویه است. اگر ما دامنه زاویه اصلی را به $[0, 2\pi)$ یا $(-\pi, \pi]$ محدود کنیم، آنگاه نمایش منحصر به فرد است. اندازه $r$ همیشه مثبت است و نشان دهنده فاصله از مبدأ است. اعداد مختلط منفی و موهومی نیز قابل نمایش به فرم قطبی هستند.